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导数的概念教学设计(精选10篇)
作为一位杰出的老师,往往需要进行教学设计编写工作,教学设计是连接基础理论与实践的桥梁,对于教学理论与实践的紧密结合具有沟通作用。写教学设计需要注意哪些格式呢?下面是小编帮大家整理的导数的概念教学设计,欢迎阅读与收藏。
导数的概念教学设计 1
一、教材分析
导数的概念是高中新教材人教A版选修2-2第一章1.1.2的内容,是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下,以及前节课所学的平均变化率基础上,阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系,从实例出发得到导数的概念,为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
新教材在这个问题的处理上有很大变化,它与旧教材的区别是从平均变化率入手,用形象直观的“逼近”方法定义导数。
问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率
问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度
根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平,制定如下教学目标和重、难点
二、教学目标
1、知识与技能:
通过大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法:
①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力
②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法
3、情感、态度与价值观:
通过运动的观点体会导数的内涵,使学生掌握导数的概念不再困难,从而激发学生学习数学的兴趣.
三、重点、难点
重点:导数概念的形成,导数内涵的理解
难点:在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,深刻理解导数的内涵
通过逼近的方法,引导学生观察来突破难点
四、教学设想(具体如下表)
教学环节教学内容师生互动设计思路
创设情景
引入新课
幻灯片
回顾上节课留下的思考题:
在高台跳水运动中,运动员相对水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
(1)运动员在这段时间里是静止的吗
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗
首先回顾上节课留下的思考题:
在学生相互讨论,交流结果的基础上,提出:大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”,但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况呢
引起学生的好奇,意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态,为了能更精确地刻画物体运动,我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
使学生带着问题走进课堂,激发学生求知欲
初步探索、展示内涵
根据学生的认知水平,概念的形成分了两个层次:
结合跳水问题,明确瞬时速度的定义
问题一:请大家思考如何求运动员的瞬时速度,如t=2时刻的瞬时速度
提出问题一,组织学生讨论,引导他们自然地想到选取一个具体时刻如t=2,研究它平均速度变化情况来寻找到问题的思路,使抽象问题具体化
理解导数的内涵是本节课的教学重难点,通过层层设疑,把学生推向问题的中心,让学生动手操作,直观感受来突出重点、突破难点
问题二:请大家继续思考,当Δt取不同值时,尝试计算的值
Δt
Δt
-0.10.1
-0.010.01
-0.0010.001
-0.00010.0001
-0.000010.00001
……….….…….…
学生对概念的认知需要借助大量的直观数据,所以我让学生利用计算器,分组完成问题二,
帮助学生体会从平均速度出发,“以已知探求未知”的数学思想方法,培养学生的动手操作能力
问题三:当Δt趋于0时,平均速度有怎样的变化趋势
Δt
Δt
-0.1-12.610.1-13.59
-0.01-13.0510.01-13.149
-0.001-13.09510.001-13.1049
-0.0001-130099510.0001-13.10049
-0.00001-13.0999510.00001-13.100049
……
一方面分组讨论,上台板演,展示计算结果,同时口答:在t=2时刻,Δt趋于0时,平均速度趋于一个确定的值-13.1,即瞬时速度,第一次体会逼近思想;另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳,第二次体会逼近思想,为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即数形结合,扫清了学生的思维障碍,更好地突破了教学的重难点,体验数学的简约美
问题四:运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示呢
引导学生继续思考:运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示学生意识到将代替2,可类比得到
与旧教材相比,这里不提及极限概念,而是通过形象生动的逼近思想来定义时刻的瞬时速度,更符合学生的认知规律,提高了他们的思维能力,体现了特殊到一般的思维方法
借助其它实例,抽象导数的概念
问题五:气球在体积时的瞬时膨胀率如何表示呢
类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示
积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系,有助于知识的重组和迁移,寻找不同实际背景下的数学共性,即对于不同实际问题,瞬时变化率富于不同的实际意义
问题六:如果将这两个变化率问题中的函数用来表示,那么函数在处的瞬时变化率如何呢
在前面两个问题的铺垫下,进一步提出,我们这里研究的函数在处的瞬时变化率即在处的导数,记作
(也可记为)
引导学生舍弃具体问题的实际意义,抽象得到导数定义,由浅入深、由易到难、由特殊到一般,帮助学生完成了思维的飞跃;同时提及导数产生的时代背景,让学生感受数学文化的熏陶,感受数学来源于生活,又服务于生活。
循序渐进、延伸
拓展例1:将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品,需要对原油进行冷却和加热。如果在第xh时候,原油温度(单位:)为
(1)计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它的意义。
(2)计算第3h和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它的意义。
步骤:
①启发学生根据导数定义,再分别求出和
②既然我们得到了第2h和第6h的原油温度的瞬时变化率分别为-3与5,大家能说明它的含义吗
③大家是否能用同样方法来解决问题二
④师生共同归纳得到,导数即瞬时变化率,可反映物体变化的快慢
步步设问,引导学生深入探究导数内涵
发展学生的应用意识,是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。在教学中以具体问题为载体,加深学生对导数内涵的.理解,体验数学在实际生活中的应用
变式练习:已知一个物体运动的位移(m)与时间t(s)满足关系s(t)=-2t2+5t(1)求物体第5秒和第6秒的瞬时速度
(2)求物体在t时刻的瞬时速度
(3)求物体t时刻运动的加速度,并判断物体作什么运动
学生独立完成,上台板演,第三次体会逼近思想
目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型,建立各学科之间的联系,更深刻地把握事物变化的规律
归纳总结
内化知识
1、瞬时速度的概念
2、导数的概念
3、思想方法:“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般
引导学生进行讨论,相互补充后进行回答,老师评析,并用幻灯片给出
让学生自己小结,不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这是一个重组知识的过程,是一个多维整合的过程,是一个高层次的自我认识过程,这样可帮助学生自行构建知识体系,理清知识脉络,养成良好的学习习惯
作业安排、板书设计(必做)第10页习题A组第2、3、4题
(选做):思考第11页习题B组第1题作业是学生信息的反馈,能在作业中发现和弥补教学中的不足,同时注重个体差异,因材施教
附后板书设计清楚整洁,便于突出知识目标
五、学法与教法
学法与教学用具
学法:
(1)合作学习:引导学生分组讨论,合作交流,共同探讨问题。(如问题2的处理)
(2)自主学习:引导学生通过亲身经历,动口、动脑、动手参与数学活动。(如问题3的处理)
(3)探究学习:引导学生发挥主观能动性,主动探索新知。(如例题的处理)
教学用具:电脑、多媒体、计算器
教法:整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则,突出:
①动——师生互动、共同探索。
②导——教师指导、循序渐进:
(1)新课引入——提出问题,激发学生的求知欲
(2)理解导数的内涵——数形结合,动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义
(3)例题处理——始终从问题出发,层层设疑,让他们在探索中自得知识
(4)变式练习,深化对导数内涵的理解,巩固新知
六、评价分析
这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数,展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、计算观察、发现规律、给出定义,让学生经历了知识再发现的过程,促进了个性化学习。
从旧教材上看,导数概念学习的起点是极限,即从数列的极限,到函数的极限,再到导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性,但学生很难理解极限的形式化定义,因此也影响了对导数本质的理解。
新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识,而是用直观形象的逼近方法定义导数。
通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义),学生容易理解;
这样定义导数的优点:
1、避免学生认知水平和知识学习间的矛盾;
2、将更多精力放在导数本质的理解上;
3、学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解,有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。
(附)板书设计
导数的概念教学设计 2
导数是近代数学中微积分的核心概念之一,是一种思想方法,这种思想方法是人类智慧的骄傲。《导数的概念》这一节内容,大致分成四个课时,我主要针对第三课时的教学,谈谈我的理解与设计,敬请各位专家斧正。
一、教材分析
1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开,即:“曲线的切线”,“瞬时速度”,“导数的概念”,“导数的几何意义”,编者意图在哪里呢?用前两部分作为背景,是为了引出导数的概念;介绍导数的几何意义,是为了加深对导数的理解。从而充分借助直观来引出导数的概念;用极限思想抽象出导数;用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数,教材的显著特点是从具体经验出发,向抽象和普遍发展,使探究知识的过程简单、经济、有效。
1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心。不仅在于它自身具有非常严谨的结构,更重要的是,导数运算是一种高明的数学思维,用导数的运算去处理函数的性质更具一般性,获得更为理想的结果;把运算对象作用于导数上,可使我们扩展知识面,感悟变量,极限等思想,运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题;导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具,在在其它学科中同样具有十分重要的作用;在物理学,经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用。导数的出现推动了人类事业向前发展。
1.3教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表:
表1、知识主体结构比较
通过比较发现:求切线的斜率和物体的瞬时速度,这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限,一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限,一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限,如果舍去问题的具体含义,都可以归结为一种相同形式的极限,即“平均变化率”的极限。因此以两个背景作为新知的生长点,不仅使新知引入变得自然,而且为新知建构提供了有效的类比方法。
1.4重、难点剖析
重点:导数的概念的形成过程。
难点:对导数概念的`理解。
为什么这样确定呢?导数概念的形成分为三个的层次:f(x)在点x0可导→f(x)在开区间(,b)内可导→f(x)在开区间(,b)内的导函数→导数,这三个层次是一个递进的过程,而不是专指哪一个层次,也不是几个层次的简单相加,因此导数概念的形成过程是重点;教材中出现了两个“导数”,“两个可导”,初学者往往会有这样的困惑,“导数到底是个什么东西?一个函数是不是有两种导数呢?”,“导函数与导数是怎么统一的?”。事实上:
(1)f(x)在点x0处的导数是这一点x0到x0+△x的变化率的极限,是一个常数,区别于导函数。
(2)f(x)的导数是对开区间内任意点x而言,是x到x+△x的变化率的极限,是f(x)在任意点的变化率,其中渗透了函数思想。
(3)导函数就是导数!是特殊的函数:先定义f(x)在x0处可导、再定义f(x)在开区间(,b)内可导、最后定义f(x)在开区间的导函数。
(4)y=f(x)在x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值,表示为这也是求f′(x0)的一种方法。初学者最难理解导数的概念,是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个关键词的区别和联系,会出现较大的分歧和差别,要突破难点,关键是找到“f(x)在点x0可导”、“f(x)在开区间的导函数”和“导数”之间的联系,而要弄清这种联系的最好方法就是类比!用“速度与导数”进行类比。
二、目的分析
2.1学生的认知特点。在知识方面,对函数的极限已经熟悉,加上两个具体背景的学习,新知教学有很好的基础;在技能方面,高三学生,有很强的概括能力和抽象思维能力;在情感方面,求知的欲望强烈,喜欢探求真理,具有积极的情感态度。
2.2教学目标的拟定。鉴于这些特点,并结合教学大纲的要求以及对教材的分析,拟定如下的教学目标:
知识目标:
①理解导数的概念。
②掌握用定义求导数的方法。
③领悟函数思想和无限逼近的极限思想。
能力目标:
①培养学生归纳、抽象和概括的能力。
②培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力。
情感目标:通过导数概念的学习,使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点。接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
三、过程分析
设计理念:遵循特殊到一般的认知规律,结合可接受性和可操作性原则,把教学目标的落实融入到教学过程之中,通过演绎导数的形成,发展和应用过程,帮助学生主动建构概念。
导数的概念教学设计 3
一、目标
知识与技能:了解可导函数的单调性与其导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。
过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力;
情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。
二、重点难点
教学重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过4次的多项式函数的单调区间
教学难点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过4次的多项式函数的单调区间
三、教学过程:
函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的。通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解。我们以导数为工具,对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便。
四、学情分析
我们的学生属于平行分班,没有实验班,学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。
五、教学方法
发现式、启发式
新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1.学生的学习准备:
2.教师的教学准备:多媒体课件制作,课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。
七、课时安排:
1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。
提问
1.判断函数的单调性有哪些方法?
(引导学生回答“定义法”,“图象法”。)
2.比如,要判断y=x2的单调性,如
何进行?(引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。)
3.还有没有其它方法?如果遇到函数:
y=x3-3x判断单调性呢?(让学生短时
间内尝试完成,结果发现:用“定义法”,
作差后判断差的符号麻烦;用“图象法”,图象很难画出来。)
4.有没有捷径?(学生疑惑,由此引出课题)这就要用到咱们今天要学的导数法。
以问题形式复习相关的旧知识,同时引出新问题:三次函数判断单调性,定义法、图象法很不方便,有没有捷径?通过创设问题情境,使学生产生强烈的问题意识,积极主动地参与到学习中来。
(二)情景导入、展示目标。
设计意图:步步导入,吸引学生的注意力,明确学习目标。
(探索函数的单调性和导数的关系)问:函数的单调性和导数有何关系呢?
教师仍以y=x2为例,借助几何画板动态演示,让学生记录结果在课前发的表格第二行中:
函数及图象单调性切线斜率k的正负导数的正负
问:有何发现?(学生回答)
问:这个结果是否具有一般性呢?
(三)合作探究、精讲点拨。
我们来考察两个一般性的例子:
(教师指导学生动手实验:把准备的牙签放在表中曲线y=f(x)的图象上,作为曲线的切线,移动切线并记录结果在上表第三、四行中。)
问:能否得出什么规律?
让学生归纳总结,教师简单板书:
在某个区间(a,b)内,
若f(x)>0,则f(x)在(a,b)上是增函数;
若f(x)<0,则在f(x)(a,b)上是减函数。
教师说明:
要正确理解“某个区间”的含义,它必需是定义域内的某个区间。
1.这一部分是后面利用导数求函数单调区间的理论依据,重要性不言而喻,而学生又只学习了导数的意义和一些基本运算,要想得到严格的证明是不现实的,因此,只要求学生能借助几何直观得出结论,这与新课标中的要求是相吻合的。
2.教师对具体例子进行动态演示,学生对一般情况进行实验验证。由观察、猜想到归纳、总结,让学生体验知识的发现、发生过程,变灌注知识为学生主动获取知识,从而使之成为课堂教学活动的主体。
3.得出结论后,教师强调正确理解“某个区间”的含义,它必需是定义域内的某个区间。这一点将在例1的变式3具体体现。
4.考虑到本节课堂容量较大,这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况(如y=x3在x=0处),这一问题将在后续课程中给学生补充。
应用导数求函数的单调区间
例1.求函数y=x2-3x的单调区间。
(引导学生得出解题思路:求导→
令f(x)>0,得函数单调递增区间,令f(x)<0,得函数单调递减区间→下结论)
变式1:求函数y=3x3-3x2的单调区间。
(竞赛活动:将全班同学分成两大组指定分别用单调性的定义,和用求导数的方法解答,每组各推荐一位同学的答案进行投影。)
求单调区间是导数的一个重要应用,也是本节重点,为此,设计了例1及三个变式:
设计例1可引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤
设计变式1及竞赛活动可以激发学生的学习热情,让他们学会比较,并深刻体验导数法的优越性。
巩固提高
变式2:求函数y=3ex-3x单调区间。
(学生上黑板解答)
变式3:求函数的单调区间。
设计变式2且让学生上黑板解答可以规范解题格式,同时使学生了解用导数法可以求更复杂的函数的`单调区间。
设计变式3是可使学生体会考虑定义域的必要性
例1及三个变式,依次涉及二次,三次函数,含指数的函数、反比例函数,这样一题多变,逐步深化,从而让学生领会:如何应用及哪类单调性问题该应用“导数法”解决。
多媒体展示探究思考题。
在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。(课堂实录),
(四)反思总结,当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。
设计意图:引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。(课堂实录)
(五)发导学案、布置预习。
设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
例1.求函数y=3x2-3x的单调区间。
变式1:求函数y=3x3-3x2的单调区间。
变式2:求函数y=3ex-3x单调区间。
变式3:求函数的单调区间。
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。
在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习,也希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步!
导数的概念教学设计 4
教学内容:
人教版9册三角形面积公式推导部分
教学目的:
1、通过让学生主动探索三角形面积计算公式,经历三角形面积公式的探索过程,进一步感受转化的数学思想和方法。
2、使学生理解三角形面积计算公式,能正确地计算三角形的面积。
3、通过操作、观察、比较,培养学生问题意识、概括能力和推理能力,发展学生的空间观念。
教学过程:
一、阅读质疑。
先请同学们自己阅读以下材料,然后以小组为单位交流一下你们都学会了哪些知识,可以提出什么问题,并把问题随手记录下来。
1厘米
学生阅读后首先回顾了平行四边形、长方形地面积公式及推导过程。然后学生提出了质疑,主要问题有:
(1)数方格怎么求三角形的面积?
(2)不数方格怎么求三角形的面积?有没有一个通用公式?
(3)能把三角形也转化成我们学过的图形求面积吗?
(4)转化成的这些图形跟三角形有什么关系吗?
(析:孔子曾说:“疑是思之始,学之端”。这里老师打破了学生等待老师提问的常规,要求学生把阅读材料作为学习主题,通过阅读提出问题,真正体现了“以生为本”。)
二、点拨激思
1.数方格的问题
学生根据学习材料可以解答用数方格的方法求三角形的面积。
老师接着问:有一个很大的三角形池塘,你来用数方格求它的面积。
学生小声笑了起来。为什么笑?老师问到。学生说数方格太麻烦了,池塘也不好划分方格。
嗯,看来数方格求面积是有一定局限性的,今天我们就来研究三角形的面积。
(析:一石激起千层浪,学生由数方格方法的局限性这一认识的困惑与冲突,有效地引发了学生探究面积计算公式的生长点,使学生有了探究发现的空间。)
2.转化的问题
你想把三角形转化成什么图形?学生会转化成平行四边形、长方形、正方形。梯形行吗?这时学生会有两种答案,有的说行,有的说不行,为什么不行?老师追问,学生在讨论中达成共识:必须转化成学过的,可以计算面积的图形。
师:三角形怎样才能转化成这些图形?请同学们利用手中学具,通过拼一拼,折一折,剪一剪,利用转化成这些图形来解决下面的几个问题。
(析:这里把“新”问题转化成了“老”问题来解决,有效地把学法指导融入到了教学中,给学生创造了更广阔、更真实的自主空间,无疑有利于学生可持续性发展。)
三、探索解疑
学生操作,讨论,汇报。
1.转化的图形
学生的答案有很多种,把两个完全一样的三角形转化成了平行四边形、长方形和正方形,还有把一个三角形沿高剪下拼成了正方形、长方形,还有把一个三角形沿中位线对折,两边也折转化成了2层的长方形。
2.解决转化前后图形间的关系
(1)大小的关系
通过比较学生们发现,两个完全一样的三角形拼成的图形跟三角形关系是S=S÷2。一个三角形转化成的图形跟三角形关系是S=S
(2)底和高的关系
拼割前后各部分有什么关系?(指底和高)能推导出三角形的面积公式吗?
生1:两个完全一样的锐角三角形转化成了平行四边形,三角形的高就是平行四边形的高,三角形的底就是平行四边形的底。因为平行四边形的面积是底×高,它是由两个三角形拼成的,所以三角形的面积是底×高÷2
师:思路真清晰,为什么÷2,谁还想说。
(学生依次讲拼成的长方形,正方形这两种情况)
(3)公式推导
师;同学们真了不起,想出了这么多好方法推出了三角形的面积公式,那谁能给大家说说三角形的面积等于什么?
生:底×高÷2
师:如果我用S表示三角形的面积,a表示三角形的底,h表示三角形的高,那三角形的面积公式该怎么表示呢?
生:S=a×h÷2
(4)推导拓展
师:我们再来看第二组,你能通过一个三角形的转化来推导它的`面积公式吗?
学生1:我是把一个等腰三角形对折,然后从中间剪开拼成了一个长方形,这个长方形的底是三角形的底的一半,高是三角形的高,因为长方形的面积是长×宽,长方形的面积等于三角形的面积,所以三角形的面积是底×高÷2。
学生2:我是把一个直角三角形的上面对折下来,然后剪开,把它补在一边,拼成了一个长方形。这个长方形的长是三角形的底,高是三角形高的一半,所以也能推出三角形的面积是底×高÷2。
生3:我是把一个三角形沿着两边的重点对折,然后又把底边的重点这样对折,折成了一个长方形,这个长方形的底是三角形底的一半,宽是三角形高的一半,再乘以2,也可以推出三角形的面积是底×高÷2
师:这个方法怎样,谁来评价一下。学生评价,太棒了。
生4:我还有一种办法。把一个长方形沿对角线折叠,因为长方形的面积是长×宽,长方形是两个三角形拼成的,所以,三角形的面积是底×高÷2
(析:把探究的权利充分的交给学生,学生自由组合,利用已有的知识经验,通过折、移、拼、剪,得到了不同的图形,虽然是不同的角度、不同的手段、不同的方法,但达到了同一目的,得到了正确的三角形面积计算公式,更重要的是探究过程中学生的思维空间得到了拓展,思维个性得到了发挥。)
归纳小结
出示学习材料2,学生阅读后谈感想。体会祖国的古代科学家得了不起,2000多年前就推导出了这个公式。今天同学们通过自己的研究也推导出了三角形的面积计算公式,说明同学们也很聪明,相信将来你们还会有更多更大的发现,到那时你们的名字也将载如史册,大家有信心吗?
师:好,今天这节课我们研究了三角形的面积,你们学到了哪些知识,有什么收获?回去继续反思整理,写出你们的反思报告。
(析:课堂总结不仅要关注学生学会了什么,更要关注用什么方法学,学后有什么感想,要有意识的促进学生反思:我还有什么疑问?打算怎么办?,把课后反思纳入到学习的系统连续的过程中。)
总析:本节课有以下两个特点
1.充分体现了“问题意识的培养”。
老师用了一种新的教学流程进行教学。即以“提出问题”,“研究问题”,“解决问题”为主线。当一个问题得到解决后,新的问题接着出现,学生始终处于“愤”和“悱”及对问题的探究中,有效地调动学生的学习的兴奋点,学生的问题意识得到发展。
2.重视研究问题的过程。
这节课以思维训练代替了重复练习,以发展学生的创造思维为重点,引导学生用多种方法进行转化,然后通过观察、操作、比较、归纳、抽象概括推导出公式,没有通过太多的练习却获得了超常规的解题能力。这个过程是学生自主探究的过程,这个过程是学生综合能力培养和提高的过程。
导数的概念教学设计 5
一、考试要求:
(1)导数概念及其几何意义
①了解导数概念的实际背景
②理解导数的几何意义。
(2)导数的运算
①能根据导数定义,求函数的导数。
②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如的复合函数)的导数。
二、知识梳理:
1、如果当时,有极限,就说函数在点处可导,并把这个极限叫做在点处的导数(或变化率)。记作或,即。的几何意义是曲线在点处的切线;瞬时速度就是位移函数对时间的'导数。
2、几种常见函数的导数
(1)(其中为常数);(2)();(3);
(4)(5)(6);
3、可导函数的四则运算的求导法则
(1);(2);(3)();
(4)的导数(其中);
三、基础检测:
1、设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是()
2、已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()
A。1B。2C。3D。4
3、设函数是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线在处的切线的斜率为()A。B。0C。D。5
4、已知对任意实数,有,且时,则时()A。B。
C。D。
5、若,则下列命题正确的是()
A。B。C。D。
6、点是曲线上任意一点,则到直线的距离的最小值是;
7、若函数的图像与直线只有一个公共点,则实数的取值范围是
8、若点在曲线上移动,则过点的切线的倾斜角取值范围是
9、设函数(1)证明:的导数;
(2)若对所有都有,求的取值范围。
10、已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在区间(m>0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.
导数的概念教学设计 6
一、教学目标:
了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
二、教学重点:
利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
教学难点:判断复合函数的单调区间及应用;利用导数的符号判断函数的单调性.
三、教学过程
(一)复习引入
1、增函数、减函数的定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
2、函数的单调性
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的`单调区间。
在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。
例1讨论函数y=x2-4x+3的单调性。
解:取x1<x2,x1、x2∈R,取值
f(x1)-f(x2)=(x12-4x1+3)-(x22-4x2+3)作差
=(x1-x2)(x1+x2-4)变形
当x1<x2<2时,x1+x2-4<0,f(x1)>f(x2),定号
∴y=f(x)在(-∞,2)单调递减。判断
当2<x1<x2时,x1+x2-4>0,f(x1)<f(x2),
∴y=f(x)在(2,+∞)单调递增。综上所述y=f(x)在(-∞,2)单调递减,y=f(x)在(2,+∞)单调递增。
能否利用导数的符号来判断函数单调性?
导数的概念教学设计 7
一、教学目标
知识与技能:
掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则,熟练运用导数的运算法则求某些简单函数的导数。
过程与方法:
通过对导数的运算法则的探究过程,加深对求导法则的理解,增强有条理的思考。
情感、态度与价值观:
在探究过程中,提高学习兴趣,激发求知欲。
二、教学重难点
教学重点:
函数的`和、差、积、商的求导法则。
教学难点:
对积和商求导法则的理解和运用。
三、教学过程
(一)导入新课
复习基本求导公式,并回顾导数的定义。
提问:如何求解两个函数的和、差、积、商的导数,引入课题。
(二)探究新知
探究一:函数的和、差的导数
四、板书设计
导数的概念教学设计 8
教学目标:
1、理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念;
2、理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法;
3、理解切线概念实际背景,培养学生解决实际问题的能力和培养学生转化
问题的能力及数形结合思想。
教学重点:
理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法。
教学难点:
用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率。
教学过程:
一、问题情境
1、问题情境。
如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?
如果将点P附近的曲线放大,那么就会发现,曲线在点P附近看上去有点像是直线。
如果将点P附近的曲线再放大,那么就会发现,曲线在点P附近看上去几乎成了直线。事实上,如果继续放大,那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线,该直线是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线。
因此,在点P附近我们可以用这条直线来代替曲线,也就是说,点P附近,曲线可以看出直线(即在很小的范围内以直代曲)。
2、探究活动。
如图所示,直线l1,l2为经过曲线上一点P的两条直线,
(1)试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线;
(2)在点P附近能作出一条比l1,l2更加逼近曲线的`直线l3吗?
(3)在点P附近能作出一条比l1,l2,l3更加逼近曲线的直线吗?
二、建构数学
切线定义:如图,设Q为曲线C上不同于P的一点,直线PQ称为曲线的割线。随着点Q沿曲线C向点P运动,割线PQ在点P附近逼近曲线C,当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l也称为曲线在点P处的切线。这种方法叫割线逼近切线。
思考:如上图,P为已知曲线C上的一点,如何求出点P处的切线方程?
三、数学运用
例1试求在点(2,4)处的切线斜率。
解法一分析:设P(2,4),Q(xQ,f(xQ)),
则割线PQ的斜率为:
当Q沿曲线逼近点P时,割线PQ逼近点P处的切线,从而割线斜率逼近切线斜率;
当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时,即xQ无限趋近于2时,kPQ无限趋近于常数4。
从而曲线f(x)=x2在点(2,4)处的切线斜率为4。
解法二设P(2,4),Q(xQ,xQ2),则割线PQ的斜率为:
当?x无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数4,从而曲线f(x)=x2,在点(2,4)处的切线斜率为4。
练习试求在x=1处的切线斜率。
解:设P(1,2),Q(1+Δx,(1+Δx)2+1),则割线PQ的斜率为:
当?x无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数2,从而曲线f(x)=x2+1在x=1处的切线斜率为2。
小结求曲线上一点处的切线斜率的一般步骤:
(1)找到定点P的坐标,设出动点Q的坐标;
(2)求出割线PQ的斜率;
(3)当时,割线逼近切线,那么割线斜率逼近切线斜率。
思考如上图,P为已知曲线C上的一点,如何求出点P处的切线方程?
解设
所以,当无限趋近于0时,无限趋近于点处的切线的斜率。
变式训练
1。已知,求曲线在处的切线斜率和切线方程;
2。已知,求曲线在处的切线斜率和切线方程;
3。已知,求曲线在处的切线斜率和切线方程。
课堂练习
已知,求曲线在处的切线斜率和切线方程。
四、回顾小结
1、曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线,则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映(局部以直代曲)。
2、根据定义,利用割线逼近切线的方法,可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。
五、课外作业
导数的概念教学设计 9
【学习要求】
1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=1x的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
【学法指导】
1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式,类推一般多项式函数的导数公式,体会由特殊到一般的思想.通过定义求导数的过程,培养归纳、探求规律的能力,提高学习兴趣.
2.本节公式是下面几节课的'基础,记准公式是学好本章内容的关键.记公式时,要注意观察公式之间的联系,如公式6是公式5的特例,公式8是公式7的特例.公式5与公式7中lna的位置的不同等.
1.几个常用函数的导数
原函数导函数
f(x)=cf′(x)=
f(x)=xf′(x)=
f(x)=x2f′(x)=
f(x)=1x
f′(x)=
f(x)=x
f′(x)=
2.基本初等函数的导数公式
原函数导函数
f(x)=cf′(x)=
f(x)=xα(α∈Q*)f′(x)=
f(x)=sinxf′(x)=
f(x)=cosxf′(x)=
f(x)=axf′(x)=(a>0)
f(x)=exf′(x)=
f(x)=logax
f′(x)=(a>0且a≠1)
f(x)=lnxf′(x)=
探究点一几个常用函数的导数
问题1怎样利用定义求函数y=f(x)的导数?
问题2利用定义求下列常用函数的导数:(1)y=c(2)y=x(3)y=x2(4)y=1x(5)y=x
问题3导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.(1)函数y=f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么?
(2)函数y=f(x)=x的导数的物理意义呢?
问题4画出函数y=1x的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.
探究点二基本初等函数的导数公式
问题1利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样解决这个问题?
问题2你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗?
例1求下列函数的导数:(1)y=sinπ3;(2)y=5x;(3)y=1x3;(4)y=4x3;(5)y=log3x.
跟踪1求下列函数的导数:(1)y=x8;(2)y=(12)x;(3)y=xx;(4)y=
例2判断下列计算是否正确.
求y=cosx在x=π3处的导数,过程如下:y′|=′=-sinπ3=-32.
跟踪2求函数f(x)=13x在x=1处的导数.
探究点三导数公式的综合应用
例3已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A、B两点,O是坐标原点,试在抛物线的弧上求一点P,使△ABP的面积最大.
跟踪3点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.
【达标检测】
1.给出下列结论:①若y=1x3,则y′=-3x4;②若y=3x,则y′=133x;
③若y=1x2,则y′=-2x-3;④若f(x)=3x,则f′(1)=3.其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
2.函数f(x)=x,则f′(3)等于()
A.36B.0C.12xD.32
3.设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是()
A.[0,π4]∪[3π4,π)B.[0,π)C.[π4,3π4]D.[0,π4]∪[π2,3π4]
4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
导数的概念教学设计 10
教学准备
1.教学目标
(1)理解平均变化率的概念.
(2)了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.
(3)理解导数的概念
(4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率.
2.教学重点/难点
教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解
教学难点:会求简单函数y=f(x)在x=x0处的导数
3.教学用具
多媒体、板书
4.标签
教学过程
一、创设情景、引入课题
【师】十七世纪,在欧洲资本主义发展初期,由于工场的手工业向机器生产过渡,提高了生产力,促进了科学技术的快速发展,其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。
【板演/PPT】
【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
【板演/PPT】
让学生自由发言,教师不急于下结论,而是继续引导学生:欲知结论怎样,让我们一起来观察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究
[1]变化率问题
【合作探究】
探究1气球膨胀率
【师】很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
【板演/PPT】
【活动】
【分析】
当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(1)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为
0.62>0.16
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
解析:
探究2高台跳水
【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
(请计算)
【板演/PPT】
【生】学生举手回答
【活动】学生觉得问题有价值,具有挑战性,迫切想知道解决问题的方法。
【师】解析:h(t)=-4.9t2+6.5t+10
【设计意图】两个问题由易到难,让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。
探究3计算运动员在
这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
(1)运动员在这段时间里是静止的吗?
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
【板演/PPT】
【生】学生举手回答
【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.
【活动】师生共同归纳出结论
平均变化率:
上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示,那么问题中的变化率可用式子
我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.
习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δy=f(x2)-f(x1),于是,平均变化率可以表示为:
【几何意义】观察函数f(x)的图象,平均变化率的几何意义是什么?
探究2当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.
从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1m/s.
为了表述方便,我们用xx表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.
【瞬时速度】
我们用
表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”。
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻的'瞬时速度?
【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想:△t越小,V越接近于t=2秒时的瞬时速度。
探究3:
(1).运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?
(2).函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?
导数的概念:
一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,
【总结提升】
由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:
[3]例题讲解
例题1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为y=f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是
在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.
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