“分数乘整数”教学片段分析及反思
摘 要：本文通过“分数乘整数”这一教学片段。执教者利用两种完全不同的引入方法来教学新知，其产生的后果截然不同。针对这一现象， 笔者试着从学生的角度进行思考分析，认为这是教师在教学时，对学生在新知转化的途径，算理与算法如何相依相存之间存在着误区，没有读懂学生而导致，试着从这两方面进行探讨。
关键词： 读懂学生 转化 算理与算法
在进行教学设计时，教师都会从教材、学生、教师这三方面来考虑。根据北师大版教材的特点，教师在教材的组织、过程的编排，练习的选择方面拥有了更广阔的空间。新课改倡导的课堂教学不是线性的、封闭的，而是开放的、动态生成的，面对多元的、不确定的、意料之外的信息与资源，是“放任自流”？是“适可而止”？还是“有收有放”？这些都取决于教师是否从学生的行为出发，去观察、捕捉、判断学生的思维，选择、调整自己的意识，改变教学策略。而这些，都需要我们在课堂教学过程中主动观察，主动反思，主动尝试。
[案例1] “分数乘整数”第一课时原经验阶段教学片段
师：同学们，我们已经学习了“整数乘法”与“小数乘法”，今天我们学习“分数乘整数”，看了课题，你想知道什么？（教师板书课题：分数乘整数）
生1：分数乘整数怎么算的？
生2：分数乘整数表示什么意义？
生3：分数乘整数怎样才能算得又对又快？
师：那么，我们就先来研究分数乘整数的意义。（教师板书：意义）
师：请记录有关算式，5+5+5+5 2/9+2/9+2/9+2/9+2/9
（师报算式，学生记录）
师：5+5+5+5还可以写成什么算式？
（学生齐声回答：“5×4”）
师：2/9+2/9+2/9+2/9+2/9还可以写成什么算式？
生：2/9×5
（板书：5×4 2/9×5）
师：这两个算式有什么相同之处和不同之处？
生1：这两个都是乘法。
生2：5×4 是整数乘整数，2/9×5是分数乘整数。
生3：它们表示的意义不同？
师：不同吗？
（班级内有80%的学生回答“相同”）
师：它们表示的意义相同，都表示求几个相同加数的和。（板书：求几个相同加数的和）
我们给全班48名学生做了前后测，前测中有33/48的学生说不出或说错7×4表示的意义。后测中仍有25/48 的学生说不出或说错2/9×4表示的意义。
[案例2] “分数乘整数”第一课时修正后行为阶段教学片段
师：老师这里有三道题（投影出示：1/5×3 3/7×2 3/16×5），你有办法解决这些题吗？
（班级内有85%的学生回答“能”）
师：好，那么请你用你的方法来解决这些题，将你的想法记录下来。
（学生们胸有成竹的进行计算，我则马不停蹄地收集学生计算中出现的资源，并即时将学生的各种资源快速的呈现在黑板上，重点反馈 1/5×3，1/5×3这道题共收集到了以下四种资源。）
（1）1/5×3 （2）1/5×3 （3）1/5×3
=1/5+1/5+1/5 = 0.2+0.2+0.2 =1×3/5
=3/5 =0.6=3/5 = 3/5
（4）
1/5 1/5×3=3/5
师：黑板上的这些方法你都看懂了吗，你认为都对吗？
（学生齐声说“看懂了”）
师：如果看懂了，请你与同桌说说他们是怎么想的？
（学生投入到与同桌进行讨论交流，绝大部分学生都能积极参与活动，讨论也十分激烈。）
师：下面，我们就一起来分析一下这四种方法。
生1：第一种方法转化成分数加法来做，因为1/5×3就表示3个1/5相加。所以，这种算法是对的。
生2：第二种方法中，转化成小数来做有局限性，像3/7×2中，3/7就不能化成有限小数。
生3：第四种方法中，画图太麻烦了。如果是1/5×100，那要画到什么时候？
生4：第三种方法其实是根据第一种而来的。因为1/5×3就表示3个1/5相加，可以写成（1+1+1）/5，也就是1×3/5=3/5。
师：同样，那么……（师手势提醒学生另两题）
生5：3/7×2表示2个3/7相加，也可以3×2/7=6/7。
生6：3/16×5表示5个3/16相加，答案是15/16。
师：那你发现分数乘整数的计算方法了吗？
（学生齐声说“发现了”，并且争先恐后的说给旁人听。）
师：为什么可以这样算呢？
生：因为1/5×3就表示3个1/5相加，3/7×2表示2个3/7相加，3/16×5表示5个3/16相加。
我们给全班48名学生做了前后测，前测中有33/48的学生说不出或说错7×4表示的意义。后测中只有12/48 的学生说不出或说错2/9×4表示的意义。
分析思考
“分数乘整数”是一节比较典型的教学课例。在案例1中，教师从整数乘法中迁移，没有结合具体式题，生搬硬套，而且其结果造成了负迁移。在巩固练习中，50%的学生喜欢用分数加法的计算方法来做分数乘法。在案例2中，学生利用式题，不但总结出了分数乘整数的计算方法，而且知道了算理（也就是分数乘整数的意义），真正做到了算理与算法相结合。
基于这两者天壤之别，笔者有了深深的感触，上述两个案例让我想到一个相同的问题，就是我们常说的备课之先“备学生”到底备到什么程度？对于学生的知识前测，教师心中有多大的把握？没有对学情准确.严密.动态的”侦察”,便绝对不会”打赢”有效教学乃至高效教学这一胜仗.很多教师在备学生的时候,是借用别人的眼光来估计自己的学生,看教参上是怎么说的.教参说这时的学生应该具有什么样的知识经验,教师便坚信自己的学生也定是如此了.没有或者很少考虑到虽然是同一个年龄段的孩子,但还有诸多不同的因素:也许你的学生是后进的,他的基础没你想象的那么牢固;也许他是绝顶聪明的,学习进度已经超过好多课业了.
如上述案例中,关注学生转化的思想就是本课时教学的重中之重.数学知识有着本身固有的结构体系，往往是新知孕伏于旧知，旧知识点是新知识点的生长点，数学教学如何让知识体系由点到线，线到面，使知识结构“见木又见林”是十分必要的。案例1从整数乘法迁移到分数乘整数，想法是可取的，但整数乘法的意义在二上年级就已经出现，而且教材中没有出现整数乘法的抽象表达方式（即整数乘法表示求几个相同加数的和），对于五下年级的学生来说，遗忘程度可想而知。而案例2中，以五上年级的分数加法为基础，让学生自由探索，效果是非常明显的。转化是需要条件的，只要“跳一跳”，就能摘到“桃子”，学生才会去尝试。
今天这节课的算理看似简单,其实理解还是有困难的.根据学生的认知心理,在遇到一个陌生的问题,如”1/5×3=?”时,学生对算法的兴趣远远胜于算理.因为算法可以直接得到结果.一旦知道算法,多数学生会对算理失去兴趣.甚至为了考试成绩去死记硬背算理,算法与算理完全脱离.那么我们实际上不是教数学,而是在教一门计算程序;不是在培养研究者,而是在训练操作工.这与”学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的思想方法和必要的应用技能”相违背的. 数学思想方法内容十分丰富，学生一接触到数学知识，就联系上许多数学思想方法。寓理于算的思想就是小学数学中的基本思想方法。在教学时,把重点放在让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程,从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握. 小学是打基础的教育，有了算理的支撑，算法才会多样化，课堂才会更开放。
课标中，原来讲“双基”，现在变成“四基”，多了基本思想、基本活动经验，笔者认为，只有具备了基本思想、基本活动经验，才能在思维上促进基本知识、基本技能的发展。不但教给学生一个表层的知识，更要给学生思维的方法与思想。
参考文献：
[1]《国家数学课程标准》
[2]《小学数学教师》