积化和差公式的证明和记忆

积化和差公式的证明和记忆

积化和差公式的证明和记忆

　　积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。

　　公式

　　sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2【注意右式前的负号】

　　cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2

　　sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

　　cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

　　证明

　　法1

　　积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

　　即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：

　　sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

　　=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ）-(cosαcosβ+sinαsinβ）]

　　=-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]

　　其他的3个式子也是相同的证明方法。

　　（该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积）

　　法2

　　根据欧拉公式，e^ix=cosx+isinx

　　令x=a+b

　　得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

　　记忆方法

　　积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。

　　【1】这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该 是

　　[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。

　　也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：

　　cos（α-β）-cos（α+β）

　　=(cosαcosβ+sinαsinβ）-(cosαcosβ-sinαsinβ）

　　=2sinαsinβ

　　故最后需要除以2。