八年级数学全等三角形及其性质教学计划
教学目标:
1.(1)掌握角平分线的尺规作图方法;理解过直线上一点作这条直线的垂线的尺规作图原理;(2)理解并掌握角的平分线的性质定理。(3) 会运用角平分线的性质进行推理论证,解决相关的几何问题;(4)进行数学活动的过程中,能进行有条理地思考,形成简单的推理能力; (5)使学生经历探索角平分线的性质的过程,领会用操作、归纳、推理论证得出数学结论的思想方法。
教学重点:角平分线的尺规作图及角平分线的性质及其应用。
教学难点:角平分线的尺规作图方法的提炼与角平分线性质的灵活应用。
教学过程:
活动一、知识回顾
1、不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?再打开纸片 ,看看折痕与这个角有何关系?
2、请叙述角平分线的定义。
活动二、情景引入
如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?
证明:在△ACD和△ACB中
AD=AB(已知)
∵ DC=BC(已知)
CA=CA(公共边)
∴ △ACD≌△ACB(SSS)
∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应角相等)
∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)
活动三、新知探究
一、根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器,要求尺规作图)
二、怎样用尺规作图方法作已知直线的垂线?(过这条直线上一点)
(1)平分平角∠AOB(如下图所示)
(2)通过上面的步骤,得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?
(3)结论:作平角的平分线即可平分平角,由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
三、探究角平分线的性质
1、已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,PD与PE有何关系?并证明。
解:PD与PE相等。证明如下:
∵OC平分∠AOB(已知)
∴∠1=∠2 (角平分线的定义)
∵PD⊥OA,PE⊥OB (已知)
∴∠PDO=∠PEO (垂直的定义)
在△PDO和△PEO中
∠PDO=∠PEO (已证)
∵ ∠1=∠2 (已证)
OP=OP (公共边)
∴△PDO≌△PEO (AAS)
∴PD=PE (全等三角形的对应边相等)
2、由此得到角平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等。
3、利用此性质怎样书写推理过程?
∵OC平分∠AOB,点P在OC上,且 PD⊥OA于D,PE⊥OB于E
∴PD=PE(角的平分线上的点到角两边的距离相等)
活动四、例题讲解
例。已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明:过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,
垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE (角平分线上的点到角的两边的距离相等)
同理:PE=PF.∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
活动五、实践应用
1.如图:在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:CF=EB
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF≌Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF,还需要我们找什么条件?
注意到题设条件:AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E, ∠C=90°故有:DC=DE (角平分线的性质)
进而可用HL证明上述两个直角三角形全等
证明:∵∠C=90°∴DC⊥AC
又∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E
∴∠DEB=90°,DC=DE(角平分线的性质)
在Rt△CDF和Rt△EDB中
DF=DB(已知)
∵
DC=DE(已证)
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)
∴ CF=EB(全等三角形的对应边相等)
2、已知:如右下图,在△ABC中,AD是它的.角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
证明:∵AD是△ABC的角平分线,且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F
∴∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定义)
DE=DF(角平分线的性质)
在Rt△DEB和Rt△DFC中
BD=CD
∵
DE=DF
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)
∴EB=FC(全等三角形的对应边相等)
3.已知:如图,△ABC的两个外角的平分线BD与CE相交于点P.
求证:点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等。
证明:作PF⊥BC于F,PG⊥AB于G,PH⊥AC于H.
又∵△ABC的两个外角的平分线BD与CE相交于点P
∴PG=PF , PF=PH(角平分线的性质)
即PG=PF=PH
∴点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等。
活动六、归纳总结
1、定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
2、定理的使用形式:
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)。
尺规作图:①作已知角的平分线;②过直线上一点作这条直线的垂线。
作业布置: 1.预习课本P21~P23
2.完成课本P22T2,P23T4,5
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