浅析相对差损失函数下的保费估计论文

时间:2021-04-27 19:58:55 论文 我要投稿

浅析相对差损失函数下的保费估计论文

  1 模型的基本假设

浅析相对差损失函数下的保费估计论文

  大多数保费原理都具有正的安全负荷,常见的保费原理有期望值原理、指数保费原理、Esscher 保费原理、修正方差原理、条件尾期望保费原理、修正条件尾期望保费原理、Kamp 保费原理等。本文在相对差损失函数下得出了风险保费的信度估计和经验Bayes 保费估计。

  全文作如下假设,对随机变量X 的函数求期望时,均假设该期望存在。

  定义:对随机变量X,若用a 来估计,损失函数为:

  L(X,a)=(1—aX)2 (*)

  称上式为相对差损失函数。

  定理1 若取损失函数(*),求解最优化问题

  minP∈R E[L(X,P)]=minP∈R E(1—PX)2,

  得到最优保费P= E(X—2)E(X—1)。

  证记φ=E(1—PX)2,则坠φ坠P =2E (1—PX)(—1P X P ) ,

  令坠φ坠P =0 得E(1X)=E( PX2 ),

  于是P= E(X—2)E(X—1),即得证。

  根据定理1 保证了风险随机变量X 最佳的估计是在相对差损失函数下给出的最优保费P,我们通常称此种保费为聚合估计,记为H(X),此保费是在相对差损失函数下得到的。

  给定风险参数Θ 的`条件下,作以下假定:

  假定1 风险参数Θ 可以识别非负随机变量X,并且π(θ)是风险参数Θ 的先验分布。

  假定2 给定Θ=θ,随机列X1,X2,…,Xn 是独立的,与X 是同分布的,并且有同样的分布函数FX ( x,θ),记Xn=(X1,X2,…,Xn),表示到时刻n 为止的索赔经历。

  2 风险保费的估计

  定理2 如果已知风险参数Θ,那么我们就能用一个函数P(θ)来预测Xn+1 (未来的索赔),在相对差损失函数(*)下,求解:

  minP(θ)E[L(Xn+1,P(θ))|θ]=minP(θ)E[(1— P(θ)Xn+1)2|θ],得到P(θ)= E(X—2n+1)E(X—1n+1)。证记ψ=E[(1— P(θ)Xn+1)2|θ],则坠ψ坠P =E 2(1— P(θ)Xn+1)(—1Xn+1P )|θ P,令坠ψ坠P=0,定理即得证。

  函数P(θ)通常叫做风险随机变量X 的风险保费,在实际问题中因为风险参数是未知的,所以保费P(θ)也是不知道的,因此可以通过样本估计P(θ)。

  当n=0 时,也就是索赔样本没有的情况下,这时的风险保费P(θ)我们可以通过一个实数P 来估计,要让相对差损失函数(*)达到最小,也就是下面最优化的问题:

  minP∈R E[L(P(θ),P)]=minP∈R E(1— P(θ)PP ) P 2 ,得到P= E[P—2(θ)]E[P—1(θ)]。通过观察风险X 的索赔样本Xn,就需要根据样本的一个函数来构造风险保费估计。记表示样本Xn 所有的可测函数构成的一个集合,在这个集合中,我们考虑最小化的问题:

  H1 ( Xn)= minH(Xn)∈E[L(P(θ),H(Xn))]= minH(Xn)∈E 1— H(Xn)θ P(θ) θ2 P P(1)

  定理3 最优化(1)式,得到最优预测为H1 ( Xn )= E[P—(1 θ)]E[P—(2 θ)],称H1 ( Xn )为相对差损失函数(*)下的Bayes 保费。

  证由Bayes 定理可知,最优化(1)式只需在后验分布下达到最小,

  记ψ=E 1— H(Xn)θ P(θ) θ2| Xn P P,

  令坠ψ坠H=0,得到下面的正规方程:

  E 2 1— H(Xn)θ P(θ) θ— 1θP(θ)θ| Xn P P=0,化简后定理即得证。H1 ( Xn)是风险保费在相对差损失函数(*)下最优的估计,这里我们称之为Bayes 估计。在一些分布的假定下,Bayes 估计可以得到更加简单的式子,但是一般来说Bayes 估计H1 ( Xn)的表达式都会复杂,甚至有些可能根本没有显示函数的形式。我们看下面的例子。

  例设X1,X2,…,Xn,Xn+1 在风险参数Θ=θ 给定时为独立同分布的随机变量,且Xi ~ U(1,θ),θ ~ U(2,3),则f(X| Θ)= 1θ—1,π(θ)=1,

  那么,风险保费为

  P(θ)= E[X—2| Θ]E[X—1| Θ] =θ1 乙x—2f(X|θ)dxθ1 乙x—1f(X|θ)dx= 1—θθlnθ,

  而π(θ| Xn)=(1—n)(θ—1)—n2—n+1 ,

  因此Bayes 估计为H1 ( Xn)= E[P—(1 θ)]E[P—(2 θ)]= 2—n+1(1—n)32 乙(θ—1)—n+1θlnθdθ。

  3 结论

  本文研究了相对差保费原理下风险保费的信度估计问题。 利用了损失函数法, 将相对差保费原理定义为相对差损失函数下风险的最优估计。 利用保费计算原理,引入相对差损失函数得到了下一期的信度保费计算公式,从而得出Bayes 保费。

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