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余弦定理练习测试题
在日常学习和工作生活中,我们都可能会接触到练习题,做习题在我们的学习中占有非常重要的位置,对掌握知识、培养能力和检验学习的效果都是非常必要的,大家知道什么样的习题才是规范的吗?下面是小编整理的余弦定理练习测试题,欢迎阅读,希望大家能够喜欢。
1.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则边c的值是()
A.8B.217
C.62D.219
解析:选D.根据余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC=16+36-2×4×6cos120°=76,c=219.
2.在△ABC中,已知a=2,b=3,C=120°,则sinA的值为()
A.5719B.217
C.338D.-5719
解析:选A.c2=a2+b2-2abcosC
=22+32-2×2×3×cos120°=19.
∴c=19.
由asinA=csinC得sinA=5719.
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为__________.
解析:设底边边长为a,则由题意知等腰三角形的腰长为2a,故顶角的余弦值为4a2+4a2-a222a2a=78.
答案:78
4.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.
解:法一:根据余弦定理得
b2=a2+c2-2accosB.
∵B=60°,2b=a+c,
∴(a+c2)2=a2+c2-2accos60°,
整理得(a-c)2=0,∴a=c.
∴△ABC是正三角形.
法二:根据正弦定理,
2b=a+c可转化为2sinB=sinA+sinC.
又∵B=60°,∴A+C=120°,
∴C=120°-A,
∴2sin60°=sinA+sin(120°-A),
整理得sin(A+30°)=1,
∴A=60°,C=60°.
∴△ABC是正三角形.
课时训练
一、选择题
1.在△ABC中,符合余弦定理的是()
A.c2=a2+b2-2abcosC
B.c2=a2-b2-2bccosA
C.b2=a2-c2-2bccosA
D.cosC=a2+b2+c22ab
解析:选A.注意余弦定理形式,特别是正负号问题.
2.在△ABC中,若a=10,b=24,c=26,则最大角的余弦值是()
A.1213B.513
C.0D.23
解析:选C.∵c>b>a,∴c所对的角C为最大角,由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=0.
3.已知△ABC的三边分别为2,3,4,则此三角形是()
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.不能确定
解析:选B.∵42=16>22+32=13,∴边长为4的边所对的角是钝角,∴△ABC是钝角三角形.
4.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A为()
A.π3B.π6
C.2π3D.π3或2π3
解析:选C.由已知得b2+c2-a2=-bc,
∴cosA=b2+c2-a22bc=-12,
又∵0<A<π,∴A=2π3,故选C.
5.在△ABC中,下列关系式
①asinB=bsinA
②a=bcosC+ccosB
③a2+b2-c2=2abcosC
④b=csinA+asinC
一定成立的有()
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析:选C.由正、余弦定理知①③一定成立.对于②由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C),显然成立.对于④由正弦定理sinB=sinCsinA+sinAsinC=2sinAsinC,则不一定成立.
6.在△ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cosB等于()
A.14B.34
C.24D.23
解析:选B.∵b2=ac,c=2a,
∴b2=2a2,
∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a2a
=34.
二、填空题
7.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则AC=________.
解析:由余弦定理,
得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,
即49=25+AC2-2×5×AC×(-12),
AC2+5AC-24=0.
∴AC=3或AC=-8(舍去).
答案:3
8.已知三角形的两边分别为4和5,它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边长是________.
解析:解方程可得该夹角的余弦值为12,由余弦定理得:42+52-2×4×5×12=21,∴第三边长是21.
答案:21
9.在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8,则B的大小是________.
解析:由正弦定理,
得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8.
不妨设a=5k,b=7k,c=8k,
则cosB=5k2+8k2-7k22×5k×8k=12,
∴B=π3.
答案:π3
三、解答题
10.已知在△ABC中,cosA=35,a=4,b=3,求角C.
解:A为b,c的夹角,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
∴16=9+c2-6×35c,
整理得5c2-18c-35=0.
解得c=5或c=-75(舍).
由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=16+9-252×4×3=0,
∵0°<C<180°,∴C=90°.
11.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边长,若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,求C的大小.
解:由题意可知,
(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
于是有a2+2ab+b2-c2=3ab,
即a2+b2-c22ab=12,
所以cosC=12,所以C=60°.
12.在△ABC中,b=asinC,c=acosB,试判断△ABC的形状.
解:由余弦定理知cosB=a2+c2-b22ac,代入c=acosB,
得c=aa2+c2-b22ac,∴c2+b2=a2,
∴△ABC是以A为直角的直角三角形.
又∵b=asinC,∴b=aca,∴b=c,
∴△ABC也是等腰三角形.
综上所述,△ABC是等腰直角三角形.
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