高中数学函数的应用综合检测试题

时间:2021-06-10 14:58:02 试题 我要投稿

高中数学函数的应用综合检测试题

  第3章函数的应用综合检测试题(含解析新人教A版必修1)

高中数学函数的应用综合检测试题

  本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

  第Ⅰ卷(选择题 共60分)

  一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

  1.(2013~2014学年度河北孟村回民中学月考试题)若函数f(x)在[a,b]上连续,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f(a+b2)>0.则()

  A.f(x)在[a,a+b2]上有零点 B.f(x)在[a+b2,b]上有零点

  C.f(x)在[a,a+b2]上无零点 D.f(x)在[a+b2,b]上无零点

  [答案] B

  [解析] 由已知,易得f(b)f(a+b2)<0,因此f(x)在[a+b2,b]上一定有零点,但在其他区间上可能有零点,也可能没有零点.

  2.函数y=1+1x的零点是()

  A.(-1,0) B.x=-1

  C.x=1 D.x=0

  [答案] B

  3.下列函数中,增长速度最快的是()

  A.y=20x B.y=x20

  C.y=log20x D.y=20x

  [答案] D

  4.已知函数f(x)=2x-b的零点为x0,且x0(-1,1),那么b的取值范围是()

  A.(-2,2) B.(-1,1)

  C.(-12,12) D.(-1,0)

  [答案] A

  [解析] f(x)=2x-b=0,得x0=b2,

  所以b2(-1,1),所以b(-2,2).

  5.函数f(x)=ax+b的零点是-1(a0),则函数g(x)=ax2+bx的零点是()

  A.-1 B.0

  C.-1和0 D.1和0

  [答案] C

  [解析] 由条件知f(-1)=0,b=a,g(x)=ax2+bx=ax(x+1)的零点为0和-1.

  6.二次函数f(x)=ax2+bx+c(xR)的部分对应值如下表:

  x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

  y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6

  由此可以判断方程ax2+bx+c=0的两个根所在的区间是()

  A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1)

  C.(-1,1)和(1,2) D.(-,-3)和(4,+)

  [答案] A

  [解析] ∵f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,

  f(-3)f(-1)<0.

  ∵f(2)=-4<0,f(4)=6>0,

  f(2)f(4)<0.方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间分别是(-3,-1)和(2,4).

  7.用二分法求方程f(x)=0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时,经计算得f(1)=3,f(2)=-5,f(32)=9,则下列结论正确的是()

  A.x0(1,32) B.x0=-32

  C.x0(32,2) D.x0=1

  [答案] C

  [解析] 由于f(2)f(32)<0,则x0(32,2).

  8.在一次数学试验中,应用图形计算器采集到如下一组数据:

  x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00

  y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02

  则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数)()

  A.y=a+bx B.y=a+bx

  C.y=ax2+b D.y=a+bx

  [答案] B

  [解析] 代入数据检验,注意函数值.

  9.设a,b,k是实数,二次函数f(x)=x2+ax+b满足:f(k-1)与f(k)异号,f(k+1)与f(k)异号.在以下关于f(x)的零点的说法中,正确的是()

  A.该二次函数的零点都小于k

  B.该二次函数的零点都大于k

  C.该二次函数的两个零点之间差一定大于2

  D.该二次函数的零点均在区间(k-1,k+1)内

  [答案] D

  [解析] 由题意得f(k-1)f(k)<0,f(k)f(k+1)<0,由零点的存在性定理可知,在区间(k-1,k),(k,k+1)内各有一个零点,零点可能是区间内的任何一个值,故D正确.

  10.(2013~2014山东梁山一中期中试题)若函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下

  x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125

  f(x) -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151

  那么方程x3-x-1=0的一个近似根(精确度为0,1)为()

  A.1.2 B.1.3125

  C.1.4375 D.1.25

  [答案] B

  [解析] 由于f(1.375)>0,f(1.3125)<0,且

  1.375-1.3125<0.1,故选B.

  11.(2013~2014河北广平县高一期中试题)“龟兔赛跑”讲过了这样一个故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到了终点,用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路线,t为时间,则图中与故事情节相吻合的是()

  [答案] D

  12.已知函数f(x)的图象如图,则它的一个可能的解析式为()

  A.y=2x B.y=4-4x+1

  C.y=log3(x+1) D.y=x13 (x0)

  [答案] B

  [解析] 由于过(1,2)点,排除C、D;由图象与直线y=4无限接近,但到达不了,即y<4知排除A,选B.

  第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

  二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)

  13.如函数f(x)=x2+mx+m+3的一个零点为0,则另一个零点是________.

  [答案] 3

  [解析] 代入x=0得m=-3.

  f(x)=x2-3x,则x2-3x=0得x1=0,x2=3

  因此另一个零点为3.

  14.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,4)上的实数根时,取中点x1=3,则下一个有根区间是________.

  [答案] (2,3)

  [解析] 设f(x)=x3-3x-5,则f(2)<0,f(3)>0,f(4)>0,有f(2)f(3)<0,则下一个有根区间是(2,3).

  15.已知函数y=f(x)是R上的`奇函数,其零点为x1,x2,…,x2013,则x1+x2+…+x2013=________.

  [答案] 0

  [解析] 由于奇函数图象关于原点对称,因此零点是对称,所以x1+x2+…+x2013=0.

  16.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解叙述正确的是________.

  ①有三个实根;

  ②x>1时恰有一实根;

  ③当0<x<1时恰有一实根;

  ④当-1<x<0时恰有一实根;

  ⑤当x<-1时恰有一实根(有且仅有一实根).

  [答案] ①⑤

  [解析] f(x)的图象是将函数y=x(x-1)(x+1)的图象向上平移0.01个单位得到.故f(x)的图象与x轴有三个交点,它们分别在区间(-,-1),(0,12)和(12,1)内,故只有①⑤正确.

  三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

  17.(本小题满分10分)求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.

  [解析] 解法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg3-2=2+lg3>0,

  函数f(x)在区间(0,2)上必定存在零点.

  又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+)上为增函数,故函数f(x)有且只有一个零点.

  解法二:在同一坐标系内作出函数h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的图象,如图所示,由图象知y=lg(x+1)和y=2-2x有且只有一个交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.

  18.(本小题满分12分)北京市的一家报刊摊点,从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元,卖出的价格是每份0.30元,卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(30天计算)里,有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算他一个月最多可赚得多少元?

  [解析] 设每天从报社买进x份报纸,每月获得的总利润为y元,则依题意有

  y=0.10(20x+10250)-0.1510(x-250)

  =0.5x+625,x[250,400].

  该函数在[250,400]上单调递增,所以x=400时,ymax=825(元).

  答:摊主每天从报社买进400份时,每月所获得的利润最大,最大利润为825元.

  19.(本小题满分12分)某公司今年1月份推出新产品A,其成本价为492元/件,经试销调查,销售量与销售价的关系如下表:

  销售价x(元/件) 650 662 720 800

  销售量y(件) 350 333 281 200

  由此可知,销售量y(件)与销售价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确).

  试问:销售价定为多少时,1月份利润最大?并求最大利润和此时的销售量.

  [解析] 由表可知350=650k+b,200=800k+bk=-1,b=1000,

  故y=-x+1000.

  设1月份利润为W,则

  W=(x-492)(-x+1000)=-x2+1492x-492000=-(x-746)2+64516,

  当x=746,Wmax=64516,此时销售量为1000-746=254件,即当销售价定为746元/件时,1月份利润最大,最大利润为64516元,此时销售量为254件.

  20.(本小题满分12分)用二分法求f(x)=x3+x2-2x-2在x的正半轴上的一个零点(误差不超过0.1).

  [解析] 显然f(2)=23+22-22-2=6>0.

  当x>2时f(x)>0,又f(0)=-2<0,f(1)=-2<0,

  故f(x)在(1,2)区间内有零点.

  区间 中点值 中点函数值

  [1,2] 1.5 0.625

  [1,1.5] 1.25 -0.984

  [1.25,1.5] 1.375 -0.260

  [1.375,1.5] 1.438 0.165

  [1.375,1.438]

  因为|1.375-1.438|=0.063<0.1,故f(x)=x3+x2-2x-2的零点为x=1.4.

  21.(本小题满分12分)某城市有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,但不超过40小时.设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(1540),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(1540).

  (1)求f(x)和g(x);

  (2)问:小张选择哪家比较合算?为什么?

  [解析] (1)f(x)=5x(1540);

  g(x)=90,1530,2x+30,30<x40.

  (2)由f(x)=g(x),得1530,5x=90或30<x40,5x=2x+30,

  即x=18或x=10(舍).

  当15x<18时,f(x)-g(x)=5x-90<0,

  即f(x)<g(x),应选甲家;

  当x=18时,f(x)=g(x),即可以选甲家也可以选乙家.

  当18<x30时,f(x)-g(x)=5x-90>0,

  即f(x)>g(x),应选乙家.

  当30<x40时,

  f(x)-g(x)=5x-(2x+30)=3x-30>0,

  即f(x)>g(x),应选乙家.

  综上所述:当15x<18时,选甲家;

  当x=18时,可以选甲家也可以选乙家;

  当18<x40时,选乙家.

  22.(本小题满分12分)一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的22.

  (1)求每年砍伐面积的百分比.

  (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?

  (3)今后最多还能砍伐多少年?

  [分析] (1)根据10年的砍伐面积为原来的一半,列方程求解.

  (2)根据到今年为止,森林剩余面积为原来的22,列方程求解.

  (3)求出第n年后森林剩余面积,根据森林面积至少要保留原面积的14列不等式求解.

  [解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x(01),则a(1-x)10=12a,即(1-x)10=12.

  解得x=1-(12)110 .

  (2)设经过m年剩余面积为原来的22,则

  a(1-x)m=22a,即(12)m10 =(12)12 ,

  m10=12,解得m=5.

  故到今年为止,已砍伐了5年.

  (3)设从今年开始,以后砍伐了n年,

  则n年后剩余面积为22a(1-x)n.

  令22a(1-x)n14a,即(1-x)n24,

  (12)n10 (12)32 ,n1032,解得n15.

  故今后最多还能砍伐15年.

  [点评] 通过本题,重点强调高次方程、指数不等式的解法.对于高次方程应让学生明确,主要是开方运算;对于指数不等式,强调化为同底,应用指数函数的单调性求解,本题中化为同底是一大难点.

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