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简单的线性规划问题检测试题
1.目标函数z=4x+y，将其看成直线方程时，z的几何意义是( )
A.该直线的截距
B.该直线的纵截距
C.该直线的横截距
D.该直线的纵截距的相反数
解析：选B.把z=4x+y变形为y=-4x+z，则此方程为直线方程的斜截式，所以z为该直线的纵截距.
2.若x≥0，y≥0，且x+y≤1，则z=x-y的最大值为( )
A.-1 B.1
C.2 D.-2
答案：B
3.若实数x、y满足x+y-2≥0，x≤4，y≤5，则s=x+y的最大值为________.
解析：可行域如图所示，
作直线y=-x，当平移直线y=-x
至点A处时，s=x+y取得最大值，即smax=4+5=9.
答案：9
4.已知实数x、y满足y≤2xy≥-2x.x≤3
(1)求不等式组表示的平面区域的面积;
(2)若目标函数为z=x-2y，求z的最小值.
解：画出满足不等式组的可行域如图所示：
(1)易求点A、B的坐标为：A(3,6)，B(3，-6)，
所以三角形OAB的面积为：
S△OAB=12×12×3=18.
(2)目标函数化为：y=12x-z2，画直线y=12x及其平行线，当此直线经过A时，-z2的值最大，z的值最小，易求A 点坐标为(3,6)，所以，z的最小值为3-2×6=-9.
一、选择题
1.z=x-y在2x-y+1≥0x-2y-1≤0 x+y≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )
A.(0,1) B.(-1，-1)
C.(1,0) D.(12，12)
解析：选C.可以验证这四个点均是可行解，当x=0，y=1时，z=-1;当x=-1，y=-1时，z=0;当x=1，y=0时，z=1;当x=12，y=12时，z=0.排除A，B，D.
2.(2010年高考浙江卷)若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-y+1≥0，则x+y的最大值为( )
A.9 B.157
C.1 D.715
解析：选A.画出可行域如图：
令z=x+y，可变为y=-x+z，
作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z最大.
由2x-y-3=0，x-y+1=0，得A(4,5)，∴zmax=4+5=9.
3.在△ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(-1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m=y-x的取值范围为( )
A.[1,3] B.[-3,1]
C.[-1,3] D.[-3，-1]
解析：选C.直线m=y-x的斜率k1=1≥kAB=23，且k1=1
∴直线经过C时m最小，为-1，
经过B时m最大，为3.
4.已知点P(x，y)在不等式组x-2≤0y-1≤0x+2y-2≥0表示的平面区域内运动，则z=x-y的取值范围是( )
A.[-2，-1] B.[-2,1]
C.[-1,2] D.[1,2]
解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分，
∵z=x-y，∴y=x-z.
由图知截距-z的范围为[-2，1]，∴z的范围为[-1,2].
5.设动点坐标(x，y)满足x-y+1x+y-4≥0，x≥3，y≥1.则x2+y2的最小值为( )
A.5 B.10
C.172 D.10
解析：选D.画出不等式组所对应的平面区域，由图可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10.
6.(2009年高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( ) w w w .x k b 1.c o m
A.12万元 B.20万元
C.25万元 D.27万元
解析：选D.设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z=5x+3y.
由题意得
x≥0，y≥0，3x+y≤13，2x+3y≤18，可行域如图阴影所示.
由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x=3，y=4，z=5×3+3×4=27(万元).
二、填空题
7.点P(x，y)满足条件0≤x≤10≤y≤1，y-x≥12则P点坐标为________时，z=4-2x+y取最大值________.
解析：可行域如图所示，新课标第一网
当y-2x最大时，z最大，此时直线y-2x=z1，过点A(0,1)，(z1)max=1，故当点P的坐标为(0,1)时z=4-2x+y取得最大值5.
答案：(0,1) 5
8.已知点P(x，y)满足条件x≥0y≤x2x+y+k≤0(k为常数)，若x+3y的最大值为8，则k=________.
解析：作出可行域如图所示：
作直线l0∶x+3y=0，平移l0知当l0过点A时，x+3y最大，由于A点坐标为(-k3，-k3).∴-k3-k=8，从而k=-6.
答案：-6
9.(2010年高考陕西卷)铁矿石A和B的含铁率a，，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a b/万吨 c/百万元
A 50% 1 3
B 70% 0.5 6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元).
解析：设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则z=3x+6y.
由题意可得约束条件为12x+710y≥1.9，x+12y≤2，x≥0，y≥0.
作出可行域如图所示：
由图可知，目标函数z=3x+6y在点A(1,2)处取得最小值，zmin=3×1+6×2=15
答案：15
三、解答题
10.设z=2y-2x+4，式中x，y满足条件0≤x≤10≤y≤22y-x≥1，求z的最大值和最小值.
解：作出不等式组0≤x≤10≤y≤22y-x≥1的可行域(如图所示).
令t=2y-2x则z=t+4.
将t=2y-2x变形得直线l∶y=x+t2.
则其与y=x平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而增大，故当直线l经过可行域上的点A时，t最大，z最大;当直线l经过可行域上的点B时，t最小，z最小.
∴zmax=2×2-2×0+4=8，
zmin=2×1-2×1+4=4.
11.已知实数x、y满足约束条件x-ay-1≥02x+y≥0x≤1(a∈R)，目标函数z=x+3y只有当x=1y=0时取得最大值，求a的取值范围.
解：直线x-ay-1=0过定点(1,0)，画出区域2x+y≥0，x≤1，让直线x-ay-1=0绕着(1, 0)旋转得到不等式所表示的平面区域.平移直线x+3y=0，观察图象知必须使直线x-ay-1=0的斜率1a>0才满足要求，故a>0.
12.某家具厂有方木料90 m3 ，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2;生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元;出售一个书橱可获利润120元.
(1)如果只安排生产方桌，可获利润多少?
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少?
(3)怎样安排生产可使所获利润最大?
解：由题意可画表格如下：
方木料(m3) 五合板(m2) 利润(元)
书桌(个) 0.1 2 80
书橱(个) 0.2 1 120
(1)设只生产书桌x张，可获利润z元，
则0.1x≤902x≤600x∈N*x≤900x≤300x∈N*x≤300，x∈N*.
目标函数为z=80x.
所以当x=300时，zmax=80×300=24000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元.
(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，则
0.2y≤901y≤600y∈N*y≤450y≤600y∈N*y≤450，y∈N*.
目标函数为z=120y.
所以当y=450时，zmax=120×450=54000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元.
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则
0.1x+0.2y≤902x+y≤600x≥0，x∈Ny≥0，x∈Nx+2y≤900，2x+y≤600，x≥0，y≥0，且x∈N，y∈N.
目标函数为z= 80x+120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 ，即可行域(图略).
作直线l∶80x+120y=0，即直线l∶2x+3y=0(图略).
把直线l向右上方平移，当直线经过可行域上的直线x+2y=900,2x+y=600的交点时，此时z=80x+120y取得最大值.
由x+2y=9002x+y=600解得交点的坐标为(100,400).
所以当x=100，y=400时，
zmax=80×100+120×400=56000(元).
因此，生产书桌100张，书橱400个，可使所获利润最大.
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