高三数学总复习计划
第十一章 算法初步
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考试要求 重难点击 命题展望
1.了解算法的含义，了解算法的思想.
2.理解程序框图的三 种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.
3.理解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
4.了解几个古代的算法案例，能用辗转相除法及更相减损术求最大公约数;用秦九韶算法求多项式的值;了解进位制，会进行不同进位制之间的转化. 本章重点：1.算法的三种基本逻辑结构即顺序结构、条件结构和循环结构;2.输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句(两种形式)的结构、作用与功能及各种语句的格式要求.
本章难点：1.用自然语言表示算法和运用程序框图表示算法;2.用算法的基本思想编写程序解决简单问题.弄清三种基本逻辑结构的区别，把握程序语言中所包含的一些基本语句结构 . 算法初步作为数学新增部分，在高考中一定会体现出它的重要性和实用性.
高考中将重点考查对变量赋值的理解和掌握、对条件结构和循环结构的灵活运用，学会根据要求画出程序框图;预计高考中，将考查程序框图、循环结构和算法思想，并结合函数与数列考查逻辑思维能力.因此算法知识与其他知识的结合将是高考的重点，这也恰恰体现了算法的普遍性、工具性，当然难度不会太大，重在考查算法的概念及其思想.
1.以选择题、填空题为主，重点考查算法的含义、程序框图、基本算法语句以及算法案例等内容.
2.解答题中可要求学生设计一个计算的程序并画出程序框图，能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力.
知识网络
11.1 算法的含义与程序框图
典例精析
题型一 算法的含义
【例1】已知球的表面积是16，要求球的体积，写出解决该问题的一个算法.
【解析】算法如下：
第一步，s=16.
第二步，计算R=s4.
第三步，计算V=4R33.
第四步，输出V.
【点拨】给出一个问题，设计算法应该注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法，此问题涉及到的各种情况;
(2)将此问题分成若干个步骤;
(3)用简练的语句将各步表述出来.
【变式训练1】设计一个计算 135791113的算法.图中给出程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是()
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5
【解析】当I13成立时，只能运算
1357911.故选A.
题型二 程序框图
【例2】图一是某县参加2010年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数).图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是()
A.i6? B.i7? C.i8? D.i9?
图一
【解析】根据题意可知，i的初始值为4，输出结果应该是A4+A5+A6+A7，因此判断框中应填写i8?，选C.
【点拨】本题的命题角度较为新颖，信息量较大，以条形统计图为知识点进行铺垫，介绍了算法流程图中各个数据的引入来源，其考查点集中于循环结构的终止条件的判断，考查了学生合理地进行推理与迅速作出判断的解题能力，解本题的过程中不少考生误选A，实质上本题中的数据并不大，考生完全可以直接从头开始限次按流程 图循环观察，依次写出每次循环后的变量的赋值，即可得解.
【变式训练2】(2009辽宁)某店一个月的收入和支出，总共记录了 N个数据a1，a2，，aN.其中收入记为正数，支出记为负数，该店用如图所示的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在 图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的()
A.A0?，V=S-T
B.A0?，V=S-T
C.A0?，V=S+T
D.A0?，V=S+T
【解析】选C.
题型三 算法的条件结构
【例3】某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：
f=
其中f(单位：元)为托运费，为托运物品的重量(单位：千克)，试写出一个计算费用f的算法，并画出相应的程序框图.
【解析】算法如下：
第一步，输入物品重量.
第二步，如果50，那么f=0.53，
否则，f=500.53+(-50)0.85.
第三步，输出托运费f.
程序框图如图所示.
【点拨】求分段函数值的算法应用到条件结构，因此在程序框图的画法中需要引入判断框，要根据题目的要求引入判断框的个数，而判断框内的条件不同，对应的框图中的内容或操作就相应地进行变化.
【变式训练3】(2010天津)阅读如图的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写()
A.i3?
B.i4?
C.i5?
D.i6?
【解析】i=1，s=2-1=1;
i=3，s=1-3=-2;
i=5，s=-2-5=-7.所以选D.
题型四 算法的循环结构
【例4】设计一个计算10个数的平均数的算法，并画出程序框图.
【解析】算法步骤如下：
第一步，令S=0.
第二步，令I=1.
第三步，输入一个数G.
第四步，令S=S+G.
第五步，令I=I+1.
第六步，若I10，转到第七步，
若I10，转到第三步.
第七步，令A=S/10.
第八步，输出A.
据上述算法步骤，程序框图如图.
【点拨】(1)引入变量S作为累加变量，引入I为计数变量，对于这种多个数据的处理问题，可通过循环结构来达到;(2)计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还用于判断循环是否终止，累加变量用于输出结果.
【变式训练4】设计一个求12310的程序框图.
【解析】程序框图如下面的图一或图二.
图一 图二
总结提高
1.给出一个问题，设计算法时应注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法;
(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况;
(3)借助有关的变量或参数对算法加以表述;
(4)将解决问题的过程划分为若干个步骤;
(5)用简练的语言将各个步骤表示出来.
2.循环结构有两种形式，即当型和直到型，这两种形式的循环结构在执行流程上有所不同，当型循环是当条件满足时执行循环体，不满足时退出循环体;而直到型循环则是当条件不满足时执行循环体，满足时退出循环体.所以判断框内的条件，是由两种循环语句确定的，不得随便更改.
3.条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中.如分段函数的求值，数据的大小关系等问题的算法设计.
11.2 基本算法语句
典例精析
题型一 输入、输出与赋值语句的应用
【例1】阅读程序框图(如下图)，若输入m=4，n=6，则输出a= ，i= .
【解析】a=12，i=3.
【点拨】赋值语句是一种重要的基本语句，也是程序必不可少的`重要组成部分，使用赋值语句，要注意其格式要求.
【变式训练1】(2010陕西)如图是求样本x1，x2，，x10的平均数 的程序框图，则图中空白框中应填入的内容为()
A.S=S+xn B.S= S+xnn C.S=S+n D.S=S+ 1n
【解析】因为此步为求和，显然为S=S+xn，故选A.
题型二 循环语句的应用
【例2】设计算法求112+123+134++199100的值.要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序.
【解析】这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算 法.程序框图如下图所示：
程序如下：
s=0
k=1
DO
s=s+1/(k* (k+1))
k=k+1
LOOP UNTIL k99
PRINT s
END
【点拨】(1)在用WHILE语句和UNTIL语句编写程序解决问题时，一定要注意格式和条件的表述方法，WHILE语句是当条件满足时执行循环体，UNTIL语句是当条件不满足时执行循环体.
(2)在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求 和、累乘求积等问题中应注意考虑利用循环语句来实现.
(3)在循环语句中，也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套的这些语句，保证语句的完整性，否则就会造成程序无法执行.
【变式训练2】下图是输出某个有限数列各项的程序框图，则该框图所输出的最后一个数据是.
【解析】由程序框图可知，当N=1时，A=1;N=2时，A=13;N=3时，A=15，，即输出各个A值的分母是以1为首项以2为公差的等差数列，故当N=50时，A=11+(50-1)2=199，即为框图最后输出的一个数据.故填199.
题型三 算法语句的实际应用
【例3】某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间3分钟以内，收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费(通话不足1分钟时按1分钟计算).试设计一个计算通话费用的算法，要求写出算法，编写程序.
【解析】我们用c(单位：元)表示通话费，t(单位：分钟)表示通话时间，
则依题意有
算法步骤如下：
第一步，输入通话时间t.
第二步，如果t3，那么c=0.2;否则c=0.2+0.1[t-2].
第三步，输出通话费用c.
程序如下：
INPUT t
IF t3 THEN
c=0.2
ELSE
c=0.2+0.1*INT(t-2)
END IF
PRINT c
END
【点拨】在解决实际问题时，要正确理解其中的算法思想，根据题目写出其关系式，再写出相应的算法步骤，画出程序框图，最后准确地编写出程序，同时要注意结合题意加深对算法的理解.
【变式训练3】(2010江苏)下图是一个算法流程图，则输出S的值是.
【解析】n=1时，S=3;n=2时，S=3+4=7;n=3时，S=7+8=15;n=4时，S=15+24=31;n=5时，S=31+25=63.因为6333，所以输出的S值为63.
总结提高
1.输入、输出语句可以设计提示信息，加引号表示出来，与变量之间用分号隔开.
2.赋值语句的赋值号左边只能是变量而不能是表达式;赋值号左右两边不能对换，不能利用赋值语句进行代数式计算，利用赋值语句可以实 现两个变量值的互换，方法是引进第三个变量，用三个赋值语句完成.
3.在某些算法中，根据需要，在条件语句的THEN分支或ELSE分支中又可以包含条件语句.遇到这样的问题，要分清内外条件结构，保证结构的完整性.
4.分清WHILE语句和UNTIL语句的格式，在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求和，累乘求积等问题中应主要考虑利用循环语句来实现，但也要结合其他语句如条件语句.
5.编程的一般步骤：
(1)算法分析;(2)画出程序框图;(3)写出程序.
11.3 算法案例
典例精析
题型一 求最大公约数
【例1】(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数;
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数.
【解析】(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数：
1 764=8402+84，
840=8410+0.
所以840与1 764的最大公约数是84.
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数：
556-440=116，
440-116=324，
324-116=208，
208-116=92，
116-92=24，
92-24=68，
68-24=44，
44-24=20，
24-20=4，
20-4=16，
16-4=12，
12-4=8，
8-4=4.
所以440与556的最大公约数是4.
【点拨】(1)辗转相除法与更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法，辗转相除法用较大的数除以较小的数，直到大数被小数除尽结 束运算，较小的数就是最大公约数;更相减损术是用两数中较大的数减去较小的数，直到所得的差和较小数相等为止，这个较小数就是这两个数的最大公约数.一般情况下，辗转相除法步骤较少，而更相减损术步骤较多，但运算简易，解题时要灵活运用.
(2)两个以上的数求最大公约数，先求其中两个数的最大公约数，再用所得的公约数与其他各数求最大公约数即可.
【变式训练1】求147,343,133的最大公约数.
【解析】先求147与343的最大公约数.
343-147=196，
196-147=49，
147-49=98，
98-49=49，
所以147与343的最大公约数为49.
再求49与133的最大公约数.
133-49=84，
84-49=35，
49-35=14，
35-14=21，
21-14=7，
14-7=7.
所以147,343,133的最大公约数为7.
题型二 秦九韶算法的应用
【例2】用秦九韶算 法写出求多项式f(x)=1+x+0.5x2+0.016 67x3+0.041 67x4+0.008 33x5在x=-0.2时的值的过程.
【解析】先把函数整理成f(x)=((((0.008 33x+0.041 67)x+0.166 67)x+0.5)x+1)x+1，
按照从内向外的顺序依次进行.
x=-0.2，
a5=0.008 33， v0=a5=0.008 33;
a4=0.041 67， v1=v0x+a4=0.04;
a3=0.016 67， v2=v1x+a3=0.008 67;
a2=0.5， v3=v2x+a2=0.498 27;
a1=1， v4=v3x+a1=0.900 35;
a0=1， v5=v4x+a0=0.819 93;
所以f(-0.2)=0.819 93.
【点拨】秦九韶算法是多项式求值的最优算法，特点是：
(1)将高次多项式的求值化为一次多项式求值;
(2)减少运算次数，提高效率;
(3)步骤重复实施，能用计算机操作.
【变式训练2】用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1当x=2时的值为.
【解析】1 397.
题型三 进位制之间的转换
【例3】(1)将101 111 011(2)转化为十进制的数;
(2)将53(8)转化为二进制的数.
【解析】(1)101 111 011(2)=128+027+126+125+124+123+022+121+1=379.
(2)53(8)=581+3=43.
所以53(8)=101 011(2).
【点拨】将k进制数转换为十进制数，关键是先写成幂的积的形式再求和，将十进制数转换为k进制数，用除k取余法，余数的书写是由下往上，顺序不能颠倒，k进制化为m进制(k，m10)，可以用十进制过渡.
【变式训练3】把十进制数89化为三进制数.
【解析】具体的计算方法如下：
89=329+2，
29=39+2，
9=33+0，
3=31+0，
1=30+1，
所以89(10)=10 022(3).
总结提高
1.辗转相除法和更相减损术都是用来求两个数的最大公约数的方法.其算法不同，但二者的原理却是相似的，主要区别是一个是除法运算，一个是减法运算，实质都是一个递推的过程.用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确的将多项式改写，然后由内向外，依次计算求解.
2.将k进制数转化为十进制数的算法和将十进制数转化为k进制数的算法操作性很强，要掌握算法步骤，并熟练转化;要熟练应用除基数，倒取余，一直除到商为0.
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