(实用)函数知识点总结
总结是对过去一定时期的工作、学习或思想情况进行回顾、分析，并做出客观评价的书面材料，它可以提升我们发现问题的能力，让我们抽出时间写写总结吧。那么如何把总结写出新花样呢？下面是小编整理的函数知识点总结，欢迎阅读与收藏。
函数知识点总结1
余割函数
对于任意一个实数x，都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数)，而这个角又对应着唯一确定的'余割值cscx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为余割函数。
记作f(x)=cscx
f(x)=cscx=1/sinx
1、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}
2、值域：{y|y≤-1或y≥1}
3、奇偶性：奇函数
4、周期性：最小正周期为2π
5、图像：
图像渐近线为：x=kπ ，k∈Z
其实有一点需要注意，就是余割函数与正弦函数互为倒数。
函数知识点总结2
一、知识导学
1.二次函数的概念、图像和性质.（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式二次函数的顶点式二次函数的坐标式
f(x)ax2bxcf(x)a(xm)2n(a0)和f(x)a(xx1)(xx2)(a0)
(a0)
（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解.
①
f(x)ax2bxc(a0)，当b24ac0时图像与x轴有两个交点.
M（x1,0）N(x2,0),|MN|=|x1-x2|=
.|a|②二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.2.指数函数
①amyax(a0,a1)和对数函数ylogax(a0,a1)的概念和性质.
（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：
anamn；②(am)namn；③(ab)nanbn（这时m,n是有理数）
MlogaMlogaNNlogcb1MlogaM；logab
nlogcaloga对数的概念及其运算性质、换底公式.
loga(MN)logaMlogaN;logaMnnlogaM;logan（2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.
①指数函数图像永远在x轴上方，当a＞1时，图像越接近y轴，底数a越大；当0错解：∵18
5,∴log185b
log1845log185log189ba∴log3645log1836log184log189log184a5,∴log185b
log1845log185log189∴log3645log1836log184log189bb错因：因对性质不熟而导致题目没解完.正解：∵18
bababa
182182alog18()a2log18()a992[例2]分析方程f(x)axbxc0（a0）的两个根都大于1的充要条件.
2错解：由于方程f(x)axbxc0（a0）对应的二次函数为
f(x)ax2bxc的图像与x轴交点的'横坐标都大于1即可.
f(1)0f(1)0故需满足b，所以充要条件是b
112a2a错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x轴有
交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.
f(1)0b正解：充要条件是12a2b4ac0y36x126x5的单调区间.
x2xx错解：令6t，则y361265＝t12t5
[例3]求函数
∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数∴函数
y36x126x5的单调递减区间是(,6]，单调递增区间为[6,)
x错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.正解：令6∴函数
t，则t6x为增函数，y36x126x5＝t212t5＝(t6)241
∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数
y36x126x5的单调递减区间是(,1]，单调递增区间为[1,)
[例4]已知yloga(2ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是错解：∵yloga(2ax)是由ylogau，u2ax复合而成，又a＞0∴u2ax在[0，1]上是x的减函数，由复合函数关系知，ylogau应为增函数，∴a＞1
错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.
yloga(2ax)是由ylogau，u2ax复合而成，又a＞0∴u2ax在[0，1]上是x的减函数，
由复合函数关系知，ylogau应为增函数，∴a＞1
又由于x在[0，1]上时yloga(2ax)有意义，u2ax又是减函数，∴x＝1时，u2ax取最小值是
正解：∵
umin2a＞0即可，∴a＜2，综上可知所求的取值范围是1＜a＜2[例5]已知函数f(x)loga(3ax).
（1）当x[0,2]时f(x)恒有意义，求实数a的取值范围.
（2）是否存在这样的实数a使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为
存在，请说明理由.分析：函数
1，如果存在，试求出a的值；如果不
f(x)为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一
0,a1
般先假设存在后再证明.
解：（1）由假设，3ax＞0，对一切x[0,2]恒成立，a显然，函数g(x)=3ax在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a＞0得到a＜(2)假设存在这样的实数a，由题设知∴a＝
32∴a的取值范围是（0，1）∪（1，
32）
f(1)1，即f(1)loga(3a)＝1
32此时
f(x)loga(33x)当x2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.2，
12x4xa[例6]已知函数f(x)=lg,其中a为常数，若当x∈(－∞,1］时,f(x)有意义，求实数a的取值范围.
a2a1xx3111xx解：124a>0,且a－a+1=(a－)+>0,∴1+2+4a>0,a>(11),当x∈(－∞,1]时,y=x与y=x都
24424x2xa2a1333是减函数，∴y=(11)在(－∞,1]上是增函数，(11)max=－,∴a>－,故a的取值范围是(－,+∞).
4444x2x422
2
xx[例7]若(a1)解：∵幂函数
13(32a)1313，试求a的取值范围.
yx有两个单调区间，
∴根据a1和32a的正、负情况，有以下关系a10a1032a0.①32a0.②a132aa132a解三个不等式组：①得
a10.③32a023，
23＜a＜
32，②无解，③a＜－1，∴a的取值范围是（－∞，－1）∪（
32）
[例8]已知a>0且a≠1,f(logax)=
a1(x－
xa21)
(1)求f(x)；(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；
2
(3)对于f(x),当x∈(－1,1)时,有f(1－m)+f(1－m)<0,求m的集合M.
分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.解：(1)令t=logax(t∈R)，则xat,f(t)aatt(aa),f(x)(axax),(xR).22a1a1aa(axax)f(x),且xR,f(x)为奇函数.当a1时,20,a1a1u(x)axax为增函数,当0a1时,类似可判断f(x)为增函数.综上,无论a1或0a1,f(x)在R上都是增函数.
(3)f(1m)f(1m2)0,f(x)是奇函数且在R上是增函数,f(1m)f(m21).又x(1,1)(2)f(x)211m11m2111m2.1mm21四、典型习题导练1.函数
f(x)axb的图像如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A.a1,b0B.a1,b0C.0a1,b0D.0a1,b0
x的值为（）
yC.1或4C.2
2
2、已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,则A.13、方程loga(x1)xA.04、函数f(x)与g(x)=(
2B.4B.1
x
D.4或8D.3
(）
2(0A.
0,nB.,0C.
0,2
D.
2,0
5、图中曲线是幂函数y＝x在第一象限的图像，已知n可取±2，±
1四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为()211111111A.－2，－，，2B．2，，－，－2C.－，－2,2，D.2，，－2,－
2222226.求函数y=log2
2(x－5x+6)的定义域、值域、单调区间.7.若x满足2(log21x)14log4x30,求f(x)=logxx222log22最大值和最小值.
8.已知定义在R上的函数f(x)2xa2x,a为常数（1）如果f(x)＝f(x)，求a的值；
（2）当
f(x)满足（1）时，用单调性定义讨论f(x)的单调性.
基本初等函数综合训练B组
一、选择题
1．若函数
f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为()
A．214B．22C．4D．12
2．若函数yloga(xb)(a0,a1)的图象过两点(1,0)
和(0,1)，则()
A．a2,b2B．a2,b2
C．a2,b1D．a2,b23．已知f(x6)log2x，那么f(8)等于（）
A．43B．8C．18D．12
4．函数ylgx()
A．是偶函数，在区间(,0)上单调递增B．是偶函数，在区间(,0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0,)上单调递增D．是奇函数，在区间(0,)上单调递减
5．已知函数f(x)lg1x1x.若f(a)b.则f(a)（）A．bB．bC．11bD．b
6．函数f(x)logax1在(0,1)上递减，那么f(x)在(1,)上（）
A．递增且无最大值B．递减且无最小值C．递增且有最大值D．递减且有最小值
二、填空题1．若
f(x)2x2xlga是奇函数，则实数a=_________。
2．函数
f(x)log1x22x5的值域是__________.
23．已知log147a,log145b,则用a,b表示log3528。4．设
A1,y,lgxy,B0,x,y,且AB，则x；y。5．计算：
322log325。
ex16．函数y的值域是__________.
xe1三、解答题
1．比较下列各组数值的大小：（1）1.7
2．解方程：（1）9
3．已知
4．已知函数
参考答案
一、选择题
x3.3和0.82.1；（2）3.30.7和3.40.8；（3）
3,log827,log9252231x27（2）6x4x9x
y4x32x3,当其值域为[1,7]时，求x的取值范围。
f(x)loga(aax)(a1)，求f(x)的定义域和值域；
1112321.Alogaa3loga(2a),loga(2a),a32a,a8a,a,a3842.Aloga(b1)0,且logab1,ab2
3.D令x4.B令令u68(x0),x82,f(8)f(x6)log2xlog2216f(x)lgx,f(x)lgxlgxf(x)，即为偶函数
x,x0时，u是x的减函数，即ylgx在区间(,0)上单调递减
1x1xlgf(x).则f(a)f(a)b.5.Bf(x)lg1x1x6．A令ux1，(0,1)是u的递减区间，即a1，(1,)是u的递增区间，即f(x)递增且无最大值。
二、填空题1．
1xxxxf(x)f(x)22lga22lga10x(lga1)(2（另法）：xR，由2.
2x)0,lga10,a110110f(x)f(x)得f(0)0，即lga10,a,2x22x5(x1)244,
而011,log1x22x5log1422222alog14283.log147log145log1435ab,log3528
ablog1435141log14log14(214)1log14271(1log147)2a
log1435log1435log1435log1435ab4.1,1∵0A,y又∵1B,y0,∴lg(xy)0,xy1
51,∴x1,而x1，∴x1,且y1
3215.
5322log32log32532log321515ex11y6.(1,1)y，ex0,1y1ex11y三、解答题1．解：（1）∵1.71.701,0.82.10.801，∴1.73.30.82.1
0.70.80.70.80.80.8（2）∵3.33.3,3.33.4，∴3.33.4（3）log827log23,log925log35,
3.333332log22log222log23,log332log333log35,223∴log925log827.
2x2xxxx2．解：（1）(3)63270,(33)(39)0,而330
3x90,3x32,
x22x4x22x2x（2）()()1,()()10
39332251()x0,则()x,332
xlog23512
3．解：由已知得14x32x37,
xxxx43237(21)(24)0,得x即
xxx43231(21)(22)0xx即021，或224∴x0，或1x2。
xx4．解：aa0,aa,x1，即定义域为(,1)；
ax0,0aaxa,loga(aax)1，即值域为(,1)。
扩展阅读：高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，
N叫做真数．
②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．
（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb．
N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中
0,N0，那么
MlogaNloga(MN)
M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)
④
alogaNN
nlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1)
logba【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数函数名称定义函数对数函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数a1yx10a1yx1ylogaxylogax图象O(1,0)O(1,0)xx定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数logax0(x1)函数值的变化情况logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念
设函数果对于
yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如
y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子
x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯
上改写成
yf1(x)．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xyf(x)中反解出xf1(y)；
f1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数②函数
yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．
yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．
yf(x)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．
③若P(a,b)在原函数④一般地，函数
yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．
一、选择题：1．
log89的值是log23A．
（）
23B．1C．
32D．2
2．已知x=2+1,则log4(x3－x－6)等于
A.
（）C.0
D.
32B.
54123．已知lg2=a，lg3=b，则
lg12等于lg15（）
A．
2ab
1abB．
a2b
1abC．
2ab
1abD．
a2b
1ab4．已知2lg(x－2y)=lgx＋lgy，则x的值为
yA．1
B．4
（）C．1或4C．(C．ln5
D．4或-1（）
5.函数y=log1(2x1)的定义域为
2A．(
1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e
1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）
y6.已知f(ex)=x，则f(5)等于
A．e5
7．若f(x)logax(a0且a1),且f1(2)1,则f(x)的图像是
yyyABCD
8．设集合A{x|x10},B{x|log2x0|},则AB等于
A．{x|x1}C．{x|x1}
B．{x|x0}D．{x|x1或x1}
2OxOxOxOx（）
9．函数ylnx1,x(1,)的反函数为（）x1ex1,x(0,)B．yxe1ex1,x(,0)D．yxe1ex1,x(0,)A．yxe1ex1,x(,0)C．yxe1二、填空题
函数知识点总结3
1二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数.
注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;
(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;
(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数.
2二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的`顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点
3二次函数y=ax2+c的图象与性质
(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定.
(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴.
当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大.
当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小.
(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系.
抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动.
函数知识点总结4
一次函数的图象与性质的口诀：
一次函数是直线，图象经过三象限;
正比例函数更简单，经过原点一直线;
两个系数k与b，作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与y轴来相见，k为正来右上斜，x增减y增减;
k为负来左下展，变化规律正相反;
k的绝对值越大，线离横轴就越远。
拓展阅读：一次函数的解题方法
理解一次函数和其它知识的联系
一次函数和代数式以及方程有着密不可分的联系。如一次函数和正比例函数仍然是函数，同时，等号的两边又都是代数式。需要注意的是，与一般代数式有很大区别。首先，一次函数和正比例函数都只能存在两个变量，而代数式可以是多个变量;其次，一次函数中的变量指数只能是1，而代数式中变量指数还可以是1以外的数。另外，一次函数解析式也可以理解为二元一次方程。
掌握一次函数的解析式的特征
一次函数解析式的结构特征：kx+b是关于x的一次二项式，其中常数b可以是任意实数，一次项系数k必须是非零数，k≠0，因为当k = 0时，y = b(b是常数)，由于没有一次项，这样的函数不是一次函数;而当b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函数，也是一次函数。
应用一次函数解决实际问题
1、分清哪些是已知量，哪些是未知量，尤其要弄清哪两种量是相关联的量，且其中一种量因另一种量的变化而变化;
2、找出具有相关联的两种量的等量关系之后，明确哪种量是另一种量的函数;
3、在实际问题中，一般存在着三种量，如距离、时间、速度等等，在这三种量中，当且仅当其中一种量时间(或速度)不变时，距离与速度(或时间)才成正比例，也就是说，距离(s)是时间(t)或速度( )的正比例函数;
4、求一次函数与正比例函数的关系式，一般采取待定系数法。
数形结合
方程，不等式，不等式组，方程组我们都可以用一次函数的观点来理解。一元一次不等式实际上就看两条直线上下方的`关系，求出端点后可以很容易把握解集，至于一元一次方程可以把左右两边看为两条直线来认识，直线交点的横坐标就是方程的解，至于二元一次方程组就是对应2条直线，方程组的解就是直线的交点，结合图形可以认识两直线的位置关系也可以把握交点个数。
如果一个交点时候两条直线的k不同，如果无穷个交点就是k，b都一样，如果平行无交点就是k相同，b不一样。至于函数平移的问题可以化归为对应点平移。k反正不变然后用待定系数法得到平移后的方程。这就是化一般为特殊的解题方法。
数学解题方法分别有哪些
1、配方法
所谓的公式是使用变换解析方程的同构方法，并将其中的一些分配给一个或多个多项式正整数幂的和形式。通过配方解决数学问题的公式。其中，用的最多的是配成完全平方式。匹配方法是数学中不断变形的重要方法，其应用非常广泛，在分解，简化根，它通常用于求解方程，证明方程和不等式，找到函数的极值和解析表达式。
2、因式分解法
因式分解是将多项式转换为几个积分产品的乘积。分解是恒定变形的基础。除了引入中学教科书中介绍的公因子法，公式法，群体分解法，交叉乘法法等外，还有很多方法可以进行因式分解。还有一些项目，如拆除物品的使用，根分解，替换，未确定的系数等等。
3、换元法
替代方法是数学中一个非常重要和广泛使用的解决问题的方法。我们通常称未知或变元。用新的参数替换原始公式的一部分或重新构建原始公式可以更简单，更容易解决。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程 ax2+ bx+ c=0( a、 b、 c属于 R， a≠0)根的判别， = b2-4 ac，不仅用来确定根的性质，还作为一个问题解决方法，代数变形，求解方程(组)，求解不等式，研究函数，甚至几何以及三角函数都有非常广泛的应用。
韦达定理除了知道二次方程的根外，还找到另一根;考虑到两个数的和和乘积的简单应用并寻找这两个数，也可以找到根的对称函数并量化二次方程根的符号。求解对称方程并解决一些与二次曲线有关的问题等，具有非常广泛的应用。
5、待定系数法
在解决数学问题时，如果我们首先判断我们所寻找的结果具有一定的形式，其中包含某些未决的系数，然后根据问题的条件列出未确定系数的方程，最后找到未确定系数的值或这些待定系数之间的关系。为了解决数学问题，这种问题解决方法被称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法
在解决问题时，我们通常通过分析条件和结论来使用这些方法来构建辅助元素。它可以是一个图表，一个方程(组)，一个方程，一个函数，一个等价的命题等，架起连接条件和结论的桥梁。为了解决这个问题，这种解决问题的数学方法，我们称之为构造方法。运用结构方法解决问题可以使代数，三角形，几何等数学知识相互渗透，有助于解决问题。
数学经常遇到的问题解答
1、要提高数学成绩首先要做什么?
这一点，是很多学生所关注的，要提高数学成绩，首先就应该从基础知识学起。不少同学觉得基础知识过于简单，看两遍基本上就都会了。这种“自我感觉良好”其实是一种错觉，而真正考试时又觉得无从下手，这还是基础不牢的表现，因此要提高数学成绩先要把基础夯实。
2、基础不好怎么学好数学?
对于基础差的同学来说，课本是就是学好数学的秘籍，把课本上的定义、公式、定理全部弄懂，力争在理解的基础上全部背熟，每一道例题、每一道课后题都要掌握。我们知道只有把公式、定理烂熟于心，才能举一反三、活学活用，把课本的知识学透有两个好处，第一，强化基础;第二，提高得分能力。
3、是否要采用题海战术?
方法君曾不止一次提到了“题海战术”，题海战术究竟可不可取呢?“题海战术”其实也是一种学习方法，但很多学生只知道做题，不懂得总结，体现不出任何的学习效果。因此在做题后要总结至关重要，只有认真总结才能不断积累做题经验，这样才能取得理想成绩。
4、做题总是粗心怎么办?
很多学生成绩不好，会说自己是因为粗心导致的，其实“粗心”只是借口，真正的原因就是题做得少、基础知识不牢、没有清晰的解题思路、计算能力不强。因此在平时的学习中，一定要注重熟练度和精准度的练习。如果总是给自己找“粗心”的借口，也就变相否定了自己的学习弱点，所以，要告诉自己，高中数学没有“粗心”只有“不用心”。
为什么要学习数学
作为一门普及度极广的学科，数学在人类文明的发展史上一直占据着重要的地位。虽然很多人可能会对数学产生排斥，认为它枯燥无味，但事实上，数学是所有学科的基石之一，对我们日常生活以及未来的职业发展有着重大影响。下面我将详细阐述学习数学的重要性。
首先，数学可以帮助我们提高逻辑思维能力。数学的学科性质使我们在学习的过程中时时刻刻面临着思考、推理、证明等诸多问题，而这些问题正是锻炼我们逻辑思维的好机会。通过长期的学习和练习，我们的思维能力得到提升，可以更加清晰地分析问题，更快速地找到正确的答案。这对我们在工作和生活中都非常有帮助，尤其是在解决复杂问题时更能得心应手。
其次，数学在现代科技中起着至关重要的作用。在计算机科学、物理学、经济学、工程学等领域，数学可以帮助我们建立模型、分析数据、预测趋势，并且可以在实际应用中优化和改进。例如，在人工智能领域，深度学习技术所涉及的数学概念包括线性代数、微积分和概率论等，如果没有深厚的数学基础，很难理解和应用这些技术。同时，在工程学领域，许多机械、电子、化工等产品的设计和制造过程，也需要运用到数学知识，因此学习数学可以使我们更好地参与到现代科技的发展中。
除此之外，数学也是一种普遍使用的语言，许多学科和领域都使用数学语言进行表达和交流。例如，在自然科学领域，生物学、化学、物理学等学科都使用数学语言来描述自然世界的规律和现象。在社会科学和商科领域，经济学和金融学运用的数学概念，如微积分、线性代数和统计学等，使得我们能够更好地理解经济和财务数据，并进行决策。因此，学习数学可以让我们更好地理解、沟通和交流各个领域的知识。
最后，学习数学也可以为我们的职业发展带来广泛的机遇和发展空间。在许多领域，数学专业的毕业生都有很广泛的就业机会，如金融界、数据科学、研究机构、教育等。数学专业的人才，不只会提供理论支持，同时也能够解决现实中具体的问题，使其在各自领域脱颖而出。
函数知识点总结5
一次函数
一、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k0）
二、一次函数的性质：
1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）
2、当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：
1、作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表；
（2）描点；
（3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2、性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（—b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3、k，b与函数图像所在象限：
当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线通过原点
当b0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ①和y2=kx2+b ②
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：
1、当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2、当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S—ft。
六、常用公式：（不全，希望有人补充）
1、求函数图像的k值：（y1—y2）/（x1—x2）
2、求与x轴平行线段的中点：|x1—x2|/2
3、求与y轴平行线段的中点：|y1—y2|/2
4、求任意线段的长：（x1—x2）^2+（y1—y2）^2 （注：根号下（x1—x2）与（y1—y2）的平方和）
二次函数
I、定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大、）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II、二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a0）
顶点式：y=a（x—h）^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a（x—x）（x—x ） [仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4a x，x=（—bb^2—4ac）/2a
III、二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV、抛物线的性质
1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x= —b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2、抛物线有一个顶点P，坐标为
P（ —b/2a，（4ac—b^2）/4a ）
当—b/2a=0时，P在y轴上；当= b^2—4ac=0时，P在x轴上。
3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。
5、常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6、抛物线与x轴交点个数
= b^2—4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
= b^2—4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
= b^2—4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= —bb^2—4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
V、二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的'一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1、二次函数y=ax^2，y=a（x—h）^2，y=a（x—h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式顶点坐标对称轴
y=ax^2（0，0） x=0
y=a（x—h）^2（h，0） x=h
y=a（x—h）^2+k（h，k） x=h
y=ax^2+bx+c（—b/2a，[4ac—b^2]/4a） x=—b/2a
当h0时，y=a（x—h）^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到、
当h0，k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x—h）^2+k的图象；
当h0，k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；
当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；
当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x—h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了、这给画图象提供了方便、
2、抛物线y=ax^2+bx+c（a0）的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=—b/2a，顶点坐标是（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）、
3、抛物线y=ax^2+bx+c（a0），若a0，当x —b/2a时，y随x的增大而减小；当x —b/2a时，y随x的增大而增大、若a0，当x —b/2a时，y随x的增大而增大；当x —b/2a时，y随x的增大而减小、
4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
（2）当△=b^2—4ac0，图象与x轴交于两点A（x，0）和B（x，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=
（a0）的两根、这两点间的距离AB=|x—x|
当△=0、图象与x轴只有一个交点；
当△0、图象与x轴没有交点、当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0、
5、抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a0（a0），则当x= —b/2a时，y最小（大）值=（4ac—b^2）/4a、
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值、
6、用待定系数法求二次函数的解析式
（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c（a0）、
（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（x—h）^2+k（a0）、
（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（x—x）（x—x）（a0）、
7、二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现、
反比例函数
形如y=k/x（k为常数且k0）的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：
反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有f（—x）=—f（x），图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。
如图，上面给出了k分别为正和负（2和—2）时的函数图像。
当K0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数
当K0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数
反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。
知识点：
1、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。
2、对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数（即y=k/（xm）m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）
函数知识点总结6
∴当x1时函数取得最大值，且ymax(1)2(1)13例4、已知函数f(x)x22(a1)x2
4]，求实数a的取值(1)若函数f(x)的递减区间是(，4]上是减函数，求实数a的取值范围(2)若函数f(x)在区间(，分析：二次函数的单调区间是由其开口方向及对称轴决定的，要分清函数在区间A上是单调函数及单调区间是A的区别与联系
解：（1）f(x)的对称轴是x可得函数图像开口向上
2(a1)21a，且二次项系数为1>0
1a]∴f(x)的单调减区间为(，∴依题设条件可得1a4，解得a3
4]上是减函数(2)∵f(x)在区间(，4]是递减区间(，1a]的子区间∴(，∴1a4，解得a3
例5、函数f(x)x2bx2，满足：f(3x)f(3x)
（1）求方程f(x)0的两根x1，x2的和（2）比较f(1)、f(1)、f(4)的大小解：由f(3x)f(3x)知函数图像的对称轴为x(3x)(3x)23
b3可得b62f(x)x26x2(x3)211
而f(x)的图像与x轴交点(x1，0)、(x2，0)关于对称轴x3对称
x1x223，可得x1x26
第三章第32页由二次项系数为1>0，可知抛物线开口向上又134，132，431
∴依二次函数的对称性及单调性可f(4)f(1)f(1)（III）课后作业练习六
（Ⅳ）教学后记：
第三章第33页
扩展阅读：初中数学函数知识点归纳
学大教育
初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法
初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的`知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。
一、一次函数
1.定义：在定义中应注意的问题y＝kx＋b中，k、b为常数，且k≠0，x的指数一定为1。2.图象及其性质（1）形状、直线
函数知识点总结7
一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。
主要考察内容：
①会画一次函数的图像，并掌握其性质。
②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。
③能用一次函数解决实际问题。
④考察一ic函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。
突破方法：
①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。
②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。
③掌握用待定系数法球一次函数解析式。
④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。
函数性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0），∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。
2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。
3当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中：
当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。若两个变量x,y间的`关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数图像性质
1、作法与图形：通过如下3个步骤：
（1）列表.
（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。
正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。（3）连线，可以作出一次函数的图象一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.
2、性质：
（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
3、函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4、k，b与函数图像所在象限：
y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：
当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当k>0,b
函数知识点总结8
k0时，y随x的增大而减小，直线一定过二、四象限（3）若直线l1：yk1xb1l2：yk2xb2
当k1k2时，l1//l2；当b1b2b时，l1与l2交于(0，b)点。
（4）当b>0时直线与y轴交于原点上方；当b学大教育
(1)是中心对称图形，对中称心是原点（2）对称性：是轴直线yx和yx(2)是轴对称图形，对称k0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小（3）
k0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而增大（4）过图象上任一点作x轴与y轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。
P（1）应用在u3.应用（2）应用在（3）其它F上SS上t其要点是会进行“数结形合”来解决问题二、二次函数
1.定义：应注意的问题
（1）在表达式y＝ax2＋bx＋c中（a、b、c为常数且a≠0）（2）二次项指数一定为22.图象：抛物线
3.图象的性质：分五种情况可用表格来说明表达式(1)y=ax2顶点坐标对称轴(0，0)最大（小）值y最小=0y最大=0(2)y=ax2+c(0，0)y最小=0y最大=0(3)y=a(x－(h，0)h)2直线x=hy最小=0y最大=0y随x的变化情况随x增大而增大随x增大而减小随x的增大而增大随x的增大而减小随x的增大而增大随x的增大而减小直线x=0(y轴)①若a>0，则x=0时，若a>0，则x>0时，y②若a0，则x=0时，①若a>0，则x>0时，y②若a0，则x=h时，①若a>0，则x>h时，y②若a学大教育
表达式h)2+k顶点坐标对称轴直线x=h最大（小）值y最小=ky最大=k(5)y=ax2+b(x+cb2ay随x的变化情况随x的增大而增大随x的增大而减小b2a时，①若a>0，则x>b2a(4)y=a(x－(h，k)①若a>0，则x=h时，①若a>0，则x>h时，y②若a0，则x=4acb24ay最小=4acb24ab时，y随x的增大而增大时，②若a2a2a时，y随x的增大而减小b②若a学大教育
一次函数图象和性质
【知识梳理】
1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0).2.一次函数ykxb的图象是经过（3.一次函数ykxb的图象与性质
图像的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限y随x的增大y随x的增大而y随x的增大y随x的增大性质而而而而
【思想方法】数形结合
k、b的符号k＞0，b＞0k＞0，b＜0k＜0，b＞0k＜0，b＜0b，0）和（0，b）两点的一条直线.k反比例函数图象和性质
【知识梳理】
1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝或（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的`反比例函数．2.反比例函数的图象和性质
k的符号k＞0yoxk＜0yox
图像的大致位置经过象限性质
第象限在每一象限内,y随x的增大而第象限在每一象限内,y随x的增大而3．k的几何含义：反比例函数y＝的几何意义，即过双曲线y＝
k(k≠0)中比例系数kxk(k≠0)上任意一点P作x4
x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB
函数学习方法学大教育
的面积为.
【思想方法】数形结合
二次函数图象和性质
【知识梳理】
1.二次函数ya(xh)2k的图像和性质
图象开口对称轴顶点坐标最值增减性
在对称轴左侧在对称轴右侧当x＝时，y有最值y随x的增大而y随x的增大而a＞0yOa＜0x当x＝时，y有最值y随x的增大而y随x的增大而锐角三角函数
【思想方法】
1.常用解题方法设k法2.常用基本图形双直角
【例题精讲】例题1.在△ABC中，∠C=90°．（1）若cosA=
14，则tanB=______;（2）若cosA=，则tanB=______．255
函数学习方法学大教育
例题2.（1）已知：cosα=
23，则锐角α的取值范围是（）A．0°
函数知识点总结9
课题
3.5正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数
教学目标
1、掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质2、会用待定系数法确定函数的解析式
教学重点
掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质
教学难点
掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质
教学方法
讲练结合法
教学过程
（I）知识要点（见下表：）
第三章第29页函数名称解析式图像正比例函数ykx（k0）0x反比例函数一次函数ykxb（k0）0x二次函数yax2bxc（a0）y0xy0xky（k0）xyxy0xyy0xy0xyk0k0k0k0k0k0a0a0图像过点（0，0）及（1，k）的直线双曲线，x轴、y轴是它的`渐近线与直线ykx平行且过点（0，b）的直线抛物线定义域RxxR且xoyyR且yoRR4acb2a0时，y,4aR值域R4acb2a0时，y,4aba0时，在－,上为增2a函数，在,－单调性k0时，在,0，k0时为增函数0,上为减函数k0时，为增函数b上为减函数2ak0时为减函数k0时，在,0，k0时，为减函数0,上为增函数ba0时，在－,上为减2a函数，在,－b上为增函数2a奇偶性奇函数奇函数b=0时奇函数b=0时偶函数a0且x－ymin最值无无无b时，2a24acb4ab时，2a24acb4aa0且x－ymax
第三章第30页b24acb2注：二次函数yaxbxca(x（a0）)a(xm)(xn)2a4abb4acb2对称轴x，顶点(，)
2a2a4a2抛物线与x轴交点坐标(m，0)，(n，0)（II）例题讲解
例1、求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）抛物线过点A（1，1），B（2，2），C（4，2）（2）抛物线的顶点为P（1，5）且过点Q（3，3）
（3）抛物线对称轴是x2，它在x轴上截出的线段AB长为2且抛物线过点（1，7）。2，
解：（1）设yax2bxc(a0)，将A、B、C三点坐标分别代入，可得方程组为
abc1a1解得b4yx24x24a2bc216a4bc2c2（2）设二次函数为ya(x1)25，将Q点坐标代入，即a(31)253，得
a2，故y2(x1)252x24x3
（3）∵抛物线对称轴为x2；
∴抛物线与x轴的两个交点A、B应关于x2对称；∴由题设条件可得两个交点坐标分别为A(2∴可设函数解析式为：ya(x2代入方程可得a1
∴所求二次函数为yx24x2，
2，0)、B(222，0)
2)(x22)a(x2)22a，将（1，7）
5)，例2：二次函数的图像过点（0，8），(1，（4，0）
（1）求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间（2）当x取何值时，①y≥0，②y（2）由y0可得x22x80，解得x4或x2由y0可得x22x80，解得2x4
例3：求函数f(x)x2x1，x[1，1]的最值及相应的x值
113x1(x)2，知函数的图像开口向上，对称轴为x
224111]上是增函数。∴依题设条件可得f(x)在[1，]上是减函数，在[，22131]时，函数取得最小值，且ymin∴当x[1，24131又∵11
函数知识点总结10
一、函数
（1）定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时，也称y是x的函数。
（2）本质：一一对应关系或多一对应关系。
有序实数对平面直角坐标系上的点
（3）表示方法：解析法、列表法、图象法。
（4）自变量取值范围：
对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义；
对于纯数学问题，自变量取值必须保证函数关系式有意义：
①分式中，分母≠0；
②二次根式中，被开方数≥0；
③整式中，自变量取全体实数；
④混合运算式中，自变量取各解集的.公共部份。
二、正比例函数与反比例函数
两函数的异同点
三、一次函数（图象为直线）
（1）定义式：y=kx+b（k、b为常数，k≠0）；自变量取全体实数。
（2）性质：
①k>0，过第一、三象限，y随x的增大而增大；
k<0，过第二、四象限，y随x的增大而减小。
②b=0，图象过（0，0）；
b>0，图象与y轴的交点（0，b）在x轴上方；
b<0，图象与y轴的交点（0，b）在x轴下方。
四、二次函数（图象为抛物线）
（1）自变量取全体实数
一般式：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），其中（0，c）为抛物线与y轴的交点；
顶点式：y=a（x—h）2+k（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为抛物线顶点；
h=—，k=零点式：y=a（x—x1）（x—x2）（a、x1、x2为常数，a≠0）其中（x1，0）、（x2，0）为抛物线与x轴的交点。x1、x2 =（b 2 —4ac ≥0）
（2）性质：
①对称轴：x=—或x=h；
②顶点：（—，）或（h，k）；
③最值：当x=—时，y有最大（小）值，为或当x=h时，y有最大（小）值，为k；
函数知识点总结11
1.①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：|k360,kZ
②终边在x轴上的角的集合：|k180,kZ③终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ
④终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ
⑤终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ⑥终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ
⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k
⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180
⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k
⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k902.角度与弧度的互换关系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′3、弧长公式：l||r.扇形面积公式：s12扇形2lr12||r
2、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
yy+y+-+-+-o-x-o+x+o-x正弦、余割余弦、正割正切、余切
3.三角函数的定义域：
三角函数定义域f(x)sinxx|xRf(x)cosxx|xRf(x)tanxx|xR且xk1,kZ2
f(x)cotxx|xR且xk,kZ
4、同角三角函数的基本关系式：
sincostan
cossincot
tancot1sin2cos217、诱导公式：
把k2“奇变偶不变，符号看象限”的三角函数化为的三角函数，概括为：三角函数的公式：
（一）基本关系
公式组一sinxcscx=1tanx=sinx22
cosxsinx+cosx=1cosxsecx=1x=cosx2sinx1+tanx=sec2xtanxcotx=11+cot2x=csc2x
公式组二公式组三
sin(2kx)sinxsin(x)sinxcos(2kx)cosxcos(x)cosxtan(2kx)tanxtan(x)tanxcot(2kx)cotxcot(x)cotx
公式组四公式组五sin(x)sinxsin(2x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxtan(x)tanxtan(2x)tanxcot(x)cotx
cot(2x)cotx（二）角与角之间的互换
cos()coscossinsincos()coscossinsin
公式组六
sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanx
cot(x)cotxsin22sincos-2-
cos2cos2sin2cos112sin
2tan1tan2222sin()sincoscossintan2sin()sincoscossintan()tantan1tantan
tantan1tantan
tan()
5.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
ysinxycosxytanxycotxyAsinx（A、＞0）定义域RR值域周期性奇偶性单调性[1,1][1,1]1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZRRR奇函数A,A22奇函数2当当0,非奇非偶奇函数偶函数奇函数0,上为上为上为增函上为增函数；上为增增函数；增函数；数；上为减函数函数；上为减函数上为减上为减上为减函数函数函数注意：①ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上递增（减），则yf(x)在[a,b]上递减（增）.②ysinx与的ycosx周期是.
▲y
Ox
0）的周期T③ysin(x)或yx2cos(x)（2.
ytan的`周期为2（TT2，如图，翻折无效）.
④ysin(x)的对称轴方程是xk2（
kZ），对称中心（
12k,0）；
ycos(x)的对称轴方程是xk（
kZ），对称中心（k,0）；
yatn(
x)的对称中心（
k2,0）.
三角函数图像
数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2||，频率f1T||2，相位x;初
相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍，得到y＝sinωx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用
ωx替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。
函数知识点总结12
一、二次函数概念：
a0）b，c是常数
1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函数，叫做二次函数。这c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，数．
2.二次函数yax2bxc的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
⑵a，二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：yax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上00，00，性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值0．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值0．
2.yax2c的性质：上加下减。
a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上c0，c0，性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值c．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值c．
3.yaxh的性质：左加右减。
2a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上0h，0h，性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随X=hx的增大而减小；xh时，y有最小值0．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a02向下X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值0．
4.yaxhk的性质：
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h，kh，kX=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0向下X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值k．
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；
⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
六、二次函数yax2bxc的性质
b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．
2a4a2a当xbbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小2a2a2a4acb2值．
4ab4acb2bb2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，时，y随．当x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值
2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；
2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；
3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．
⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．
2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
⑴在a0的前提下，当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．2a
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：对称轴xb在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是“左同2a右异”总结：
3.常数项c
⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a，二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的'形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1.关于x轴对称
yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；
yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；
2.关于y轴对称
yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；
22yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；
3.关于原点对称
yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；
4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2222b2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；
2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．n对称
5.关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk关于点m，根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：
①当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次
b24ac方程axbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1.
a2
②当0时，图象与x轴只有一个交点；
③当0时，图象与x轴没有交点.
1"当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；
2"当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．
2.抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
0抛物线与x轴有两个交点0二次三项式的值可正、可零、可负二次三项式的值为非负二次三项式的值恒为正一元二次方程有两个不相等实根一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程无实数根.0抛物线与x轴只有一个交点抛物线与x轴无交点y=2x2y=x2y=3(x+4)2二次函数图像参考：
y=3x2y=3(x-2)2y=x22
y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2x2十一、函数的应用
刹车距离二次函数应用何时获得最大利润
最大面积是多少y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2
函数知识点总结13
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax+bx+c。
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax+bx+c=0。
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax，y=a(x-h)，y=a(x-h)+k，y=ax+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。当h>0时，y=a(x-h)的图象可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到。
当h<0时，则向xxx移动|h|个单位得到。
当h>0，k>0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)+k的图象。
当h>0，k<0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。
当h<0，k>0时，将抛物线向xxx移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。
当h<0,k<0时，将抛物线向xxx移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。
因此，研究抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便。
2.抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b]/4a)。
3.抛物线y=ax+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的`增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小。
4.抛物线y=ax+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)。
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x-x|。
当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。
5.抛物线y=ax+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b)/4a。
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax+bx+c(a≠0)。
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)+k(a≠0)。
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)。
函数知识点总结14
一、函数的概念与表示
1、映射
(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。
注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射
2、函数
构成函数概念的三要素
①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据：
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;
(3)对数函数的'真数必须大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
三、函数的值域
1求函数值域的方法
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;
②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;
③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;
④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);
⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;
⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;
⑦利用对号函数
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
四.函数的奇偶性
1.定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇
函数。
2.性质：
①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]
3.奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义：
2设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。
函数知识点总结15
第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。
在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。
第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的.所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。
对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。
第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。
在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。
第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。
抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。
第五、函数零点定理使用不当若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0。那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0。这个c也可以是方程f(c)=0的根，称之为函数的零点定理，分为“变号零点”和“不变号零点”，而对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时，考生需格外注意这类问题。
第六、混淆两类切线曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。
因此，考生在求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。
第七、混淆导数与单调性的关系一个函数在某个区间上是增函数的这类题型，如果考生认为函数的导函数在此区间上恒大于0，很容易就会出错。
解答函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意，一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。
第八、导数与极值关系不清考生在使用导数求函数极值类问题时，容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，却没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点，往往就会出错，出错原因就是考生对导数与极值关系没搞清楚。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，小编在此提醒广大考生，在使用导数求函数极值时，一定要对极值点进行仔细检查。
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